Аксиомы в математике и геометрии

Без аксиом никакой математики бы не было. Поэтому какие-то "очевидные" утверждения принимают как основу и дальше из них все остальное выводят. Бывают разные наборы аксиом, из которых можно вывести разное

Аксиома - это теорема, не требующая доказательства.
Например: через две точки можно провести только одну прямую. Логично. Хочешь, попробуй доказать, но ты лишь потратишь время на ненужное аксиоме доказательство

Математика - это чистая абстракция, а аксиомы являются основой. Ты вполне можешь выбрать другую начальную аксиоматику и получить совершенно другую математику. Просто были выбраны такие аксиомы, чтобы основанная на них математика до определенного предела имела некоторое практическое применение.

Берем школьную математику, для начала арифметику.
Первое действие, которое мы проходим - сложение. Если сложить два слагаемых, получится сумма.
Следующее действие - вычитание. Его определяют, как действие, обратное сложению, то есть, вычитание - это определение неизвестного слагаемого, если известны сумма и второе слагаемое.
Дальше - умножение. Это сокращенное сложение.
Деление - действие, обратное умножению (нахождение неизвестного сомножителя при известном произведении и втором сомножителе).
Дальше путем усложнения мы выведем действия возведения в степень, извлечение корня и логарифмирование.
Все эти действия, таким образом, последовательно выводятся из сложения. А как определить сложение? Я еще в школе пытался найти его определение, пока не прочел у Выгодского: "Действие сложения является интуитивным и определению не подлежит".
То есть, чтобы логическая система была строгой, она основывается на последовательных доказательствах, но в основе ее всегда лежат некоторые недоказуемые положения и понятия.
Эти положения и названы аксиомами.

Аксиомы база их доказывать не надо. А вот более сложные взаимодествия аксиом нужно доказывать, так как они уже не наглядные.

«Не требуют доказательства аксиомы математики например» – значит невозможно доказать их.... как?.... ==>>

средствами самой математики.. Гёдель не даст соврать))

И в самом деле:::

-- нет, и не может быть вообще ничего, что можно бы доказать – тольҡо средствами самого доказываемого ҡоңтента, объекта))

Объяснять аксиомы, например в математике, возможңо лишь с привлечением внешних ( !! ) от этой дисициплины ресурсов.
Например посредством логики, семантики, этимологии, даже лингвистики, объективным контролем и прочими ништяками))

Далее максимально утрируем:::
-- вот, условный предок, освоив язык (! это всегда основа базовый компонент),
решил придумать счёт.

Видит в некоем месте, некий объект. И таких тут, больше нет.
Пусть будет объект, причём любой – один, 1.
Фсё, "аксиома" будущей математики, готова, конвенция однако))

Алексея Левченко не советую слушать, без понятия, че он там говорит, и разбираться не собираюсь.

Почему в математике и геометрии аксиомы не доказываются

Аксиомы НЕ доказываются. Это сводка утверждений, который принимаются истинными без доказательства. А затем из этих аксиом выводят следствия, а затем и всю теорию.

если их скорее всего придумали исходя из каких либо закономерностей. То есть фактически их можно доказать, объяснить откуда они появились, почему

Это называется не доказательством, а проверкой на корректность. Теория формулируется из нужды какой-то. Например, что-то там описать. И конечно если из таких побуждений сформированы аксиомы или определение, то его нужно проверить на корректность. Обосновать, то ли оно даёт и значит. Понятно?

Или это просто, например, правило, которое не нарушает законы геометрии или математике

Геометрия - это тоже математика. И у тебя логическое противоречие получается. Как ты можешь проверить на корректность аксиомы математики в сравнение с "законами" в математике? Если эти законы есть следствия аксиом и при построении теории сразу же эти законы не появляются.

Получаеться, это просто рандомно подобранные формулы или правила, которые существуют просто потому что ничего не нарушают и упрощают процесс вычислений и понимания

Ну нагородил.. хотя я таким же был) да и есть..
Нет, это не рандом но подобранные формулы и правила. Они строго логически выведены или определены, исходя из нужд. Некоторые физические или математические формулы, конечно, были "подобраны", но не рандомно, а под влиянием математической чуйки. Хотя что-то было открыто и случайно.

Как в квантовой физике

А квант мех сюда ваще прилетать не надо. Во первых, этот раздел физики ничем не отличается от других в плане науки. То, что ты описываешь дальше, если я верно понимаю тебя, можно отнести к любой науке. В квантовую физику без отличной математики нельзя лезть.

Бывает, что доказываются. Бывает, что нет. Вы не совсем верно (слишком по старинке) понимаете "аксиомы". Систем аксиом не одна штука, а несколько, удобных в разных обстоятельствах. О геометрии, посмотрите, например https://vk.com/wall-149993556_72962?ysclid=m22xdog5om372905987
Математикам было, конечно, интересно, как аксиомы согласуются с реальностью, примерно 2-2.5 тыс лет назад. А сейчас - не очень.

Аксиомы не доказывают, потому, что даже теоретически невозможна такая логическая система, в которой все утверждения доказываются друг на основе друга. Аксиомы можно только обосновать на основании каких-то внешних к данной аксиоматической теории соображений.

Аксиомы, разумеется, всегда доказывают для применения чего либо, хотя бы косвенно. А в формальных построениях их часто (хотя и не всегда) мотивируют. Если вы строите формальную теорию (математическую, например), то в рамках этой теории вы должны из чего-то исходить, и на этом строить все остальное. Так вот исходите вы из опеделений и аксиом, и в рамках теории вы не имеете возможно их доказывать, даже если захотите. Но, если теперь построенную теорию вы хотите куда-то применить, то вы сначала должны доказать, что в вашей системе для ваших объектов будут выполняться эти самые аксимы. Если это так, то вы можете сразу брать и применять готовую построенную на этих аксиомах теорию. Если ж для вашей системы выполнение этих аксиом доказать не удается, то и применять построенную на этих аксиомах теория вы формально не можете. Хотя, иногда делают наоборот: сначала применяют для некоторой системы некую формальную теорию, затем показывают, что получается все правильно и все рабоает, и из этого делают вывод, что с аксиомами все было хорошо. А если это еще и физическая система, то проверка аксиом возможна на эксперименте.
-
Берете вы, например, теорию линейных пространств. Стартуете с ее аксиом, и выстраиваете все остальное. Затем, подозреваете вы, что ее можно применить для описания электромагнитных полей. Тогда вы берете теорию ЭМ полей, и проверяете, удовлетворяют ли ваши эти поля аксиомам линейного пространства. Как только вы доказали, что у вас эти аксиомы работают, то вы просто берете и применяете весь аппарат линала для решения уравнений, описывающих ЭМ поле.
-
Обнаружили вы, например, что уравнения, описывающие ваше систему, под действием неких преобразований не меняются. Тогда вы берете ваши эти преобразования симметрии, и доказываете, что для них выполняются групповые аксиомы. Как только вы доказали выполнение аксиом, вы торжественно объявляете, что ваши преобразования образуют группу, и сокрушаете ваши уравнения всей мощью теоретико-группового подхода.
-
В квантовой мехнике все вообще вышло забавно: она ризвавалась и придумывалась с середины. Сначала люди смогли выцепить ряд правильных идей и правильных результатов. Потом придумали набор аксиом, из которых все это могло бы следовать, организовали из этого полноценную формальную математическую теорию, а потом убедились, что все ее следствия всегда оказываются правильными, и совпадают с экспериментами. В этом случае ответ на вопрос: "почему аксиомы такие?". будет: "потому что они приводят к правильным результатам".