СРОЧНО РЕШИТЕ ЗАДАНИЕ

Доказательство того, что площадь сечения меньше 90 см²

1. Найдем сторону основания:

Площадь правильного треугольника равна (a²√3)/4, где a - сторона.
144√3 = (a²√3)/4
a² = 144 * 4
a = 24 см

2. Найдем высоту основания:

Высота правильного треугольника равна (a√3)/2.
h = (24√3)/2 = 12√3 см

3. Найдем апофему боковой грани:

Рассмотрим треугольник, образованный апофемой боковой грани (L), половиной стороны основания (a/2) и высотой пирамиды (H). Этот треугольник прямоугольный.
(a/2)² + H² = L²
H² = L² - (a/2)²

Также рассмотрим треугольник, образованный боковым ребром (20), половиной стороны основания (a/2) и апофемой (L). Этот треугольник тоже прямоугольный.
(a/2)² + L² = 20²
L² = 400 - (a/2)²

Подставим a = 24:
L² = 400 - 144 = 256
L = 16 см

4. Найдем высоту пирамиды:

H² = L² - (a/2)² = 256 - 144 = 112
H = √112 = 4√7 см

5. Рассмотрим сечение:

Сечение представляет собой треугольник, образованный вершиной пирамиды и серединами двух сторон основания. Одна из сторон этого треугольника - это половина стороны основания (12 см). Высота этого треугольника - это часть высоты пирамиды, которую можно найти из подобия треугольников:
h_сечения / H = (a/4) / (a/2)
h_сечения / H = 1/2
h_сечения = H/2 = 2√7 см

6. Найдем площадь сечения:

S_сечения = (1/2) * 12 * 2√7 = 12√7 см²

7. Сравним с 90 см²:

12√7 ≈ 12 * 2.64 ≈ 31.7
31.7 < 90

Вывод:

Площадь сечения, проведённого через середины двух ребер основания и вершину пирамиды, равна 12√7 см², что меньше 90 см². Утверждение доказано.