Задача матемтаика, почему ответ 50, а не 49 (нужен краткий и лаконичный ответ)

Question

Задача матемтаика, почему ответ 50, а не 49 (нужен краткий и лаконичный ответ)

Андрей Мухинов Мастер (1007), на голосовании 1 неделю назад

По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной еще не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря — чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее число пар разноцветных соседних точек Аня может гарантировать себе независимо от игры Бори?

Answer 1

(На всякий случай уточню: всего пар соседних точек 100.)

Аня может гарантировать себе 50 разноцветных пар. Для этого она каждым своим ходом, начиная со второго, делает разноцветную пару. Это всегда возможно. После своего последнего хода у неё не менее 49 разноцветных пар.

Если таких пар 50 или больше (Боря играл неоптимально), наше утверждение доказано.

Пусть таких пар 49. Тогда оставшиеся 49 пар - одноцветные. Тогда имеем цепочку из 99 цветных точек, которая начинается и заканчивается разными цветами (т.к. в этой цепочке нечётное число перемен цвета).

Следовательно, Боре остаётся поставить последнюю точку между разными цветами, а значит, он создаст и 50-ую разноцветную пару.