Физика. КОЛЕБАНИЯ 1D-СИСТЕМ.

.

Это что то на умном, диванные эксперты только отправить поdroчитб могут...

Анализ задачи о колебаниях 1D-системы
Постановка задачи
Нам дано дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания маятника:

 ϕ'' + 0.4ϕ' + 16ϕ = 0
 

Требуется найти:

• Логарифмический декремент затухания (δ): характеризует скорость затухания колебаний.
• Число колебаний до прекращения (N): количество полных колебаний, которые совершит система до практически полного прекращения колебаний.
• Добротность колебательной системы (Q): характеризует степень затухания колебаний.
• Доля полной энергии, рассеиваемая за период (∆E/E): показывает, какая часть энергии теряется за один период колебаний.

Решение
1. Определение коэффициентов затухания и частоты Сравнивая заданное уравнение с каноническим уравнением затухающих колебаний:

 x'' + 2βx' + ω₀²x = 0
 

где:

• β - коэффициент затухания,
• ω₀ - собственная частота колебаний,

получаем:

• 2β = 0.4 ⇒ β = 0.2
• ω₀² = 16 ⇒ ω₀ = 4 рад/с

2. Логарифмический декремент затухания (δ) Логарифмический декремент затухания связан с коэффициентом затухания следующим соотношением:

 δ = πβ/ω₀
 

Подставляя значения, получаем:

 δ = π * 0.2 / 4 ≈ 0.157
 

3. Число колебаний до прекращения (N) Оценить точное число колебаний до полного прекращения сложно, так как это зависит от того, какой уровень затухания мы считаем "прекращением". Однако, можно дать приблизительную оценку. Обычно считается, что колебания практически прекращаются, когда амплитуда уменьшается в e раз от начального значения. Для этого требуется примерно 1/δ колебаний.

 N ≈ 1/δ ≈ 6.37
 

Таким образом, затухающие колебания практически прекратятся примерно через 6-7 периодов.
4. Добротность колебательной системы (Q)Добротность связана с логарифмическим декрементом соотношением:

 Q = π/δ
 

Подставляя значение δ, получаем:

 Q = π/0.157 ≈ 20
 

5. Доля полной энергии, рассеиваемая за период (∆E/E) За один период амплитуда колебаний уменьшается в e^δ раз. Энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому за период энергия уменьшается в e^(2δ) раз. Следовательно, доля энергии, рассеиваемая за период:

 ∆E/E = 1 - e^(-2δ) ≈ 0.049