Помогите с олимпиадой по математикае 9 класс

В турнире по выбыванию с

?

участниками всегда будет

?

−

1

матч, так как на каждом этапе один участник выбывает, пока не останется один победитель.

В данном случае, у нас есть

38

участников, значит, будет

38

−

1

=

37

матчей.

Каждый матч может завершиться только одним проигрывающим, что означает, что каждый участник, участвующий в матче, может сыграть не более

1

матча в каждом из этапов до своей окончательной потери. Таким образом, каждый проигравший может участвовать в одном или нескольких матчах, но в конечном итоге он должен проиграть.

Теперь попробуем определить максимальное количество участников

?

, которые могут провести не менее

5

матчей. Если один участник провел

5

матчей, это означает, что он должен иметь

4

победы и

1

проигрыш. Этот участник, соответственно, выбывает только после

5

-й встречи.

Таким образом, если у нас есть

?

участников, каждый из которых провел

5

матчей, то общее количество "выбываний" среди них составит

?

(по одному выбывшему за каждого из

?

участников).

При этом важно заметить, что чтобы участник провел

5

матчей, он должен выиграть по крайней мере

4

из них, что предполагает наличие как минимум

?

+

4

?

=

5

?

матчей (где

4

?

обозначает победы оставшихся участников).

Чтобы не превышать

37

матчей, мы имеем:

5

?

≤

37

,

или

?

≤

⌊

37

5

⌋

=

7.

Таким образом, максимальное возможное значение

?

, при котором

?

участников может провести не менее

5

матчей, составляет

7

.

Итак, ответ на ваш вопрос:

7

.

В турнире на выбывание, где участвуют 38 человек, каждый матч завершает участие одного из участников. Таким образом, чтобы определить одного победителя, нужно провести 37 матчей (в каждом матче один участник выбывает).

Теперь, чтобы выяснить, сколько участников могли провести не менее 5 матчей, давайте обозначим:

?
N — количество участников, проведших не менее 5 матчей.
?
M — количество матчей, которые провели остальные участники.
Для участников, которые провели по 5 матчей, общее количество проведенных матчей будет равно
5
?
5N. Остальные участники, проводившие по 1 или 2 матча, в итоге могут провести меньше, но важно учесть, что общее количество матчей должно равняться 37:

5
?
+
?
=
37
5N+M=37
Теперь давайте определим, сколько участников могут не провести ни одного матча, если
?
N участников провели 5 матчей. В этом случае, оставшиеся участники (то есть
38
−
?
38−N) смогут провести не более 4 матчей (поскольку для их участия хотя бы один должен проиграть).

Следовательно, для остальных участников:

?
≤
4
(
38
−
?
)
M≤4(38−N)
Теперь у нас есть два уравнения:

5
?
+
?
=
37
5N+M=37
?
≤
4
(
38
−
?
)
M≤4(38−N)
Подставим второе уравнение в первое:

5
?
+
4
(
38
−
?
)
≥
37
5N+4(38−N)≥37
Раскроем скобки:

5
?
+
152
−
4
?
≥
37
5N+152−4N≥37
Соберем подобные:

?
+
152
≥
37
N+152≥37
Упростим это уравнение:

?
≥
37
−
152
N≥37−152
Поскольку это не имеет практического смысла, продолжим с учётом того, что у нас не может быть больше участников, чем общее количество в турнире. Таким образом, мы проверим максимальное значение
?
N.

Теперь вернемся к первому уравнению:

?
=
37
−
5
?
M=37−5N
Проверим максимальные значения
?
N:

Если
?
=
7
N=7:
?
=
37
−
5
×
7
=
37
−
35
=
2
M=37−5×7=37−35=2
Участники, которые не проводили 5 матчей, могут провести 2 матча. Оставшиеся 31 участник могут не участвовать вовсе.
Таким образом, наибольшее значение
?
N, при котором возможно, чтобы 7 участников провели не менее 5 матчей, составляет:

7
7
​

10

https://t.me/otvetiphisics Пользуйся