Народ подскажите, существует ли в русском языке слово "писЯ" ?

нет

Нет. Это очень нелепо звучит.

Нет

В русском языке слово "писЯ" не существует. Правильный вариант — "пишу". Ваше предложение можно переформулировать: "Я глажу своего кота, одновременно пишу другу сообщение."

Я глажу своего кота, одновременно пишУ другу сообщение.

Нет, правильно "пиша". Хотя я ни разу не слышал чтобы его кто-то использовал

В современном русском языке существует, но крайне редко употребляется деепричастие "пиша". Его даже Ворд подчеркивает красным, ему не нравится.
Тем не менее, раньше это деепричастие употреблялось активнее, чем ныне. Интернет приводит три примера:
В трактате Василия Татищева «Разговор двух приятелей о пользе науки и училищах»: «Павел, пиша о вдовстве, повелевает вдовиц не менее 60-ти лет почитать».
В письме Антона Чехова Л. Н. Трефолеву: «Пиша каждому из них, не забудьте назвать всех трёх названных…».
В дневнике Ивана Бунина: «Плакал, пиша конец. Но вообще душа тупа. И не нравится».
Однако, мне кажется, что во втором примере Антон Павлович дурачился. "Назвать всех трех названных" очень даже смахивает на умышленное коверкание языка.

есть писюн )))))))))

А человек, который ее носит называется писюн

Пишучи, пишучи..

Русский язык достаточно вариативен. Многие вещи можно сказать перефразировав словосочетания по другому. Можно использовать синонимы, а можно заменить действие написания на процедуру "отправляя" или "набирая". Когда не уверены в написании слова можете попробовать перефразировать. Например "записывая". Также можно перечислить что делаете "и одновременно пишу". Да, слов становится больше, они длиннее, но ведь и смысл становится отчётливее, чтобы не пришлось потом краснеть.

Я написать письмо для друга
Решил поглядывая в ночь.
Кота взяла к себе подруга
Его погладить я не прочь.

Я другу написать письмо задумал,
Хоть время позднее казалось бы уже.
Вода гудит стремясь по трубам,
Кота я глажу на последнем этаже.

Письмо для друга на ночь глядя
Решил с чего то написать.
Сижу с пером, кота погладил,
И думаю с чего начать.

Кот на своём кошачьем месте.
Его я глажу, он сидит.
Пишу я другу в пинтересте
Надеюсь он туда глядит.

(никого не хотел обидеть, всем котам и кошкам спокойно ночи)