Как таблица синусов работает? ведь во первых, насколько мне известно, синусы определяются по отношению сторон

Нескажу

Для любого угла можно ответить прямоугольный треугольник. Стороны могут быть самыми разными, но для каждого угла соотношение будет одинаковым.

давно проходил математику, но помню, что в прчмоугольном треугольнике если известен синус угла, можно найти его костнус
sin^2+cos^2=1
это всё для прямоугольных треугольников
так как
синус это есть отношение противолежащего катета к гипотинузе , а косинус прилежащего к гипотинузе

но для решения задач с обычными треугольниками, просто его разбивают на несколько частей.

Не могут быть они какими угодно. Да, для прямоугольного треугольника. При прямоугольном треугольнике, стороны при угле с одной градусной величиной всегда будут иметь одинаковое отношение.

Если вы о поправочных коэффициентах , то они для каждого угла свои.

Стороны то могут быть разными... а их отношение одинаково всегда.

стороны угла не могут быть разными, они всегда ограничиваются единичной окружностью (окружностью с радиусом 1)
например если у тебя будет прямой угол со сторонами 3 и 4, то засчет единичной окружности их длина станет 1, и соответственно синус будет равен 1все тригонометрические функции угла можно найти по единичной окружности

дел

Совершенно правильно. Самые разные... Все три вместе связанные, если рассматриваем треугольник, от разности этой и зависит угол.

Синус угла определяется как отношение катета, лежащего против этого угла, к гипотенузе, при первом знакомстве с геометрией. Именно так они возникли исторически
В дальнейшем, в тригонометрии, применяется другое определение синуса (как и других тригонометрических функций). В частности, синус угла а определяется как ордината конца радиуса окружности единичной длины, проведенной вокруг центра (нулевой точки) декартовых координат, отклоненная от оси абсцисс на угол а.

Прямоугольные треугольники могут быть хоть и разного размера, но подобные, с одинаковыми соотношениями сторон. И синус определяется как их отношение только в школе в самом начале изучения тригонометрии :) А потом синус определяется для любого угла в любом треугольнике. А в старших классах синус уже может быть и отрицательным, да и от отрицательных аргументов тоже вычисляется, но ограничен единицей и минус единицей. В ВУЗе оказывается что синус может оказаться и больше единицы, он определенная функция - решение дифференциальных и функциональных уравнений. Математики идут дальше и видят, что все эти виды синусов сводятся к функции, обратной эллиптическому интегралу. Далее появляются гиперкомплексные числа, матрицы, тензоры, у них тоже есть синус... :)