Помогите с задачей по стереометрии. Угол между прямой и плоскостью

Обозначим ребро куба за а, середину ребра АВ за М, середину ребра ВС за N, середину отрезка ЕМ за К, середину ребра ВВ₁ за L, точку пересечения прямых MN и BD за P, середину диагонали ВС₁ за Q а проекцию точки Е на прямую PQ за Н. Сначала нужно построить перпендикуляр из любой точки прямой АЕ к плоскости BDC₁. Так как ВD⊥EMN (ведь BD⊥EМ по свойствам куба а ВD⊥MN так как MN||АС а BD⊥AС как диагонали квадрата) то и BDC₁⊥ЕМN. Прямая геометрический объект попроще плоскости, поэтому перпендикуляр к плоскости надо сводить к перпендикуляру к прямой: так как EMN∩BDC₁=PQ и ЕН⊥PQ то ЕН⊥BDC₁. Не хочу пиздякаться с проецированием прямой на плоскость, проще обходным путём: угол между объектом 1 и объектом 2 равен 90°-угол между объектом 1 и перпендикуляром к объекту 2 (или наоборот) поэтому АЕ^BDC₁=90°-АЕ^EН а значит sinАЕ^BDC₁=cosAE^EH=|cos∠АЕН|. По подобию треугольников АВС и MBN MN=AC/2=а√2/2=a/√2. MP=PN=MN/2=a/√2/2=а√2/4. Найдём стороны △EPQ чтобы построить перпендикуляр EH (ну то есть найти положение точки Н на отрезке PQ): EP=√(ЕМ²+MP²)=√(a²+(а√2/4)²)=3а√2/4, РQ=√(PN²+NQ²)=√((а√2/4)²+(а/2)²)=а√6/4 и EQ=√(ЕК²+КL²+QL²)=√((а/2)²+(а/2)²+(а/2)²)=а√3/2. cos∠EPQ=(EP²+PQ²-EQ²)/(2EP×PQ)=((3а√2/4)²+(а√6/4)²-(а√3/2)²)/(2×3а√2/4×а√6/4)=((3√2/4)²+(√6/4)²-(√3/2)²)/(2×3√2/4×√6/4)=1/√3. PH=ЕРcos∠EPQ=3а√2/4×1/√3=а√6/4=PQ, значит H=Q (а ЕQ⊥BDC₁ и ∠АЕН=∠АЕQ) и зря мы ввели точку Н😊. АQ²=AD²+DN²+NQ²=а²+(а/2)²+(a/2)²=3а²/2. АЕ=√(АМ²+ЕМ²)=√((а/2)²+а²)=a√5/2. И наконец добрались до ∠АЕQ: cos∠АЕQ=(AE²+EQ²-AQ²)/(2AE×EQ)=((a√5/2)²+(a√3/2)²-3a²/2)/(2×a√5/2×a√3/2)=((√5/2)²+(√3/2)²-3/2)/(2×√5/2×√3/2)=1/√15. sinAE^BDC₁=|cos∠АЕQ|=|1/√15|=1/√15