Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью 𝜀𝜀=0,001.
sin α = ⅀(n=1;∞)(-1)ⁿ⁺¹·α²ⁿ⁻¹/(2n-1)!
∫(-1;0)sin(x²/5)dx =
∫(-1;0)⅀(n=1;∞)(-1)ⁿ⁺¹·(x²/5)²ⁿ⁻¹/(2n-1)!dx =
⅀(n=1;∞)(-1)ⁿ⁺¹·∫(-1;0)x⁴ⁿ⁻²dx/[5²ⁿ⁻¹·(2n-1)!] =
⅀(n=1;∞)(-1)ⁿ⁺¹·x⁴ⁿ⁻¹|(-1;0)/[5²ⁿ⁻¹·(4n-1)·(2n-1)!] =
⅀(n=1;∞)(-1)ⁿ⁺¹·[0-(-1)⁴ⁿ⁻¹]/[5²ⁿ⁻¹·(4n-1)·(2n-1)!] =
⅀(n=1;∞)(-1)ⁿ⁺¹/[5²ⁿ⁻¹·(4n-1)·(2n-1)!] =
1/15 - 1/(125·7·6) + ...
Если точность подразумевается абсолютная, тогда достаточно взять первое слагаемое полученного бесконечного ряда:
S = 1/15 = 0,0(6)
Более точное значение, вычисленное
по формуле Симпсона, равно 0,0664764327312, a абсолютная ошибка с единственным взятым первым членом ряда получается ≈0,000190234
Для относительной точности одного первого члена ряда явно недостаточно, а вот два первых слагаемых взять вполне достаточно для достижения требуемой точности:
S = 349/5250 ≈ 0,06647619047619, относительная ошибка с двумя первыми слагаемыми бесконечной суммы получается ≈-3.6442238921e-06
Разложите синус в тейлора по мтепеням x^2 / 5. Поменяйте местами интегрирование и суммирование. Интегралы всех членов ряда будут легко считаться (всего лишь степенныефункции), останется просумировать знакопеременный ряд. А для знакопеременного ряда с монотонно убывающим по модулю общим членом есть шикарная особенность. Если вы оборвете ряд (оставите в сумме конечное число идущих подряд слагаемых), то вы при вычислении суммы ошибетесь не более, чем на величину наибольшего по модулю откинутого члена. Из этого вы сразу сможете выяснить, сколько слагаемых ряда вам необходимо учесть, чтобы получить нужную точность.