Как решается такое задание с параметром?

Не бойтесь сложного вида выражений. Больше наблюдайте и размышляйте. Например, здесь вся система чётна относительно х. Т.е. если (х, y) - решение, то и (-x, y) тоже решение. А значит, х может быть равно только 0. Подставляем и находим, что р может принимать только два значения: 0 или 2.

Но это ещё не значит, что при этих значениях система непременно будет иметь единственное решение. Эти значения нужно проверить.

1) p = 0. Изучите этот случай сами. Подскажу - пригодится периодичность тригонометрических функций.

2) р = 2. Здесь опять поможет рассуждение. Из первого уравнения найдите, в каких пределах может находиться y. А потом обратитесь ко второму уравнению.