Математика дифференцирование функций

Первая производная:

Функция
?
=
?
⋅
arctg
(
?
)
y=x⋅arctg(x) — это произведение двух функций
?
x и
arctg
(
?
)
arctg(x). Используем правило произведения для нахождения производной:

?
?
?
?
=
?
?
?
(
?
⋅
arctg
(
?
)
)
=
arctg
(
?
)
+
?
⋅
?
?
?
(
arctg
(
?
)
)
.
dx
dy
​
=
dx
d
​
(x⋅arctg(x))=arctg(x)+x⋅
dx
d
​
(arctg(x)).
Производная от
arctg
(
?
)
arctg(x) равна
1
1
+
?
2
1+x
2

1
​
, поэтому:

?
?
?
?
=
arctg
(
?
)
+
?
1
+
?
2
.
dx
dy
​
=arctg(x)+
1+x
2

x
​
.
Вторая производная:

Теперь находим вторую производную от результата:

?
2
?
?
?
2
=
?
?
?
(
arctg
(
?
)
+
?
1
+
?
2
)
.
dx
2

d
2
y
​
=
dx
d
​
(arctg(x)+
1+x
2

x
​
).
Производная от
arctg
(
?
)
arctg(x) уже известна:
1
1
+
?
2
1+x
2

1
​
.

Производную от
?
1
+
?
2
1+x
2

x
​
находим по правилу частного:

?
?
?
(
?
1
+
?
2
)
=
(
1
+
?
2
)
⋅
1
−
?
⋅
2
?
(
1
+
?
2
)
2
=
1
+
?
2
−
2
?
2
(
1
+
?
2
)
2
=
1
−
?
2
(
1
+
?
2
)
2
.
dx
d
​
(
1+x
2

x
​
)=
(1+x
2
)
2

(1+x
2
)⋅1−x⋅2x
​
=
(1+x
2
)
2

1+x
2
−2x
2

​
=
(1+x
2
)
2

1−x
2

​
.
Теперь складываем результаты:

?
2
?
?
?
2
=
1
1
+
?
2
+
1
−
?
2
(
1
+
?
2
)
2
.
dx
2

d
2
y
​
=
1+x
2

1
​
+
(1+x
2
)
2

1−x
2

​
.
Таким образом, вторая производная функции
?
=
?
⋅
arctg
(
?
)
y=x⋅arctg(x) равна:

?
2
?
?
?
2
=
1
1
+
?
2
+
1
−
?
2
(
1
+
?
2
)
2
.
dx
2

d
2
y
​
=
1+x
2

1
​
+
(1+x
2
)
2

1−x
2

​
.