Алгебра 11 класс уравнение касательной

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции \( y = -x^3 - 2x^2 - 3x + 5 \) в точке \( x_0 = -2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

### 1. Найдём значение функции в точке \( x_0 = -2 \):
\[
y(-2) = -(-2)^3 - 2(-2)^2 - 3(-2) + 5
\]
Выполним вычисления:
\[
y(-2) = -(-8) - 2(4) + 6 + 5 = 8 - 8 + 6 + 5 = 11
\]
Таким образом, точка касания имеет координаты \( (-2, 11) \).

### 2. Найдём производную функции, чтобы определить наклон касательной:
Функция:
\[
y = -x^3 - 2x^2 - 3x + 5
\]
Находим производную:
\[
y' = \frac{dy}{dx} = -3x^2 - 4x - 3
\]
Вычислим производную в точке \( x_0 = -2 \):
\[
y'(-2) = -3(-2)^2 - 4(-2) - 3 = -3(4) + 8 - 3 = -12 + 8 - 3 = -7
\]
Наклон касательной равен \( -7 \).

### 3. Составим уравнение касательной, используя точку и наклон:
Используем формулу уравнения касательной в точке \( (x_0, y_0) \):
\[
y - y_0 = k(x - x_0)
\]
Где \( k \) — наклон касательной.

Подставляем известные значения:
\[
y - 11 = -7(x - (-2)) \\
y - 11 = -7(x + 2)
\]
Раскрываем скобки:
\[
y - 11 = -7x - 14
\]
Переносим 11 в правую часть:
\[
y = -7x - 14 + 11 \\
y = -7x - 3
\]

### Итоговое уравнение касательной:
\[
y = -7x - 3
\]