Задача про таблицу

Пусть у нас есть таблица размером m × n , где m — количество строк, а n — количество столбцов. Заполним каждую клетку таблицы числами 0 или 1.

1. Суммы в строках: Поскольку суммы чисел в каждой из строк равны, обозначим эту общую сумму как S . То есть, для каждой строки сумма будет равна S .

2. Суммы в столбцах: Суммы чисел в каждом из столбцов попарно различны. Это означает, что если C₁, C₂, …, Cₙ — суммы в столбцах, то Cᵢ ≠ Cⱼ для i ≠ j .

3. Общая сумма: Общая сумма всех чисел в таблице будет равна mS , так как в каждой из m строк сумма равна S .

4. Суммы в столбцах: Каждая сумма столбца Cⱼ может быть выражена как сумма элементов из соответствующих строк. Поскольку элементы могут быть только 0 или 1, сумма каждого столбца будет варьироваться от 0 до m .

5. Различные суммы: Для того чтобы суммы столбцов были попарно различными, они должны принимать разные значения. Максимально возможные значения сумм в столбцах при m строках — это 0, 1, 2, …, m . Всего таких значений m + 1 .

6. Условие о различии: Чтобы суммы были попарно различны, необходимо, чтобы количество столбцов n было не больше количества возможных различных сумм, то есть n ≤ m + 1 .

7. Возможные суммы: Поскольку все суммы в столбцах должны быть различными и не превышать m , возможные суммы для одной строки (то есть S ) могут принимать значения от 0 до m
Таким образом, возможные варианты для суммы чисел в одной строке могут быть следующими:

S = 0, 1, 2, …, m


где m — количество строк в таблице.