Матанализ 1 курс

Определение предела функции с помощью языка эпсилон-дельта — это формальный способ описания того, как функция ведет себя при приближении аргумента к определенному значению. Вот последовательность действий, чтобы дать определение предела с использованием этого подхода:

### Шаги для определения предела с помощью эпсилон-дельта

1. **Формулировка предела**: Начните с формулировки предела, который вы хотите доказать. Например, вы хотите показать, что:
\[
\lim_{x \to a} f(x) = L
\]
Это означает, что при приближении \(x\) к \(a\) значение функции \(f(x)\) приближается к \(L\).

2. **Определение эпсилон**: Выберите произвольное положительное число \(\epsilon > 0\). Это число будет представлять, насколько близко значение функции \(f(x)\) должно быть к \(L\).

3. **Нахождение дельта**: Вам нужно найти такое положительное число \(\delta > 0\), чтобы для всех \(x\), удовлетворяющих условию:
\[
0 < |x - a| < \delta
\]
выполнялось следующее неравенство:
\[
|f(x) - L| < \epsilon
\]

4. **Выбор \(\delta\)**: В зависимости от функции \(f(x)\) и значения \(L\), вам нужно выразить \(\delta\) через \(\epsilon\). Это может потребовать алгебраических манипуляций и анализа функции. Например, если вы знаете, что \(f(x)\) является непрерывной функцией в точке \(a\), вы можете использовать свойства этой функции для нахождения \(\delta\).

5. **Доказательство**: После того как вы нашли \(\delta\) в зависимости от \(\epsilon\), вам нужно формально записать доказательство. Убедитесь, что вы объяснили, как для любого \(\epsilon > 0\) можно найти соответствующее \(\delta > 0\), чтобы удовлетворить условию предела.

6. **Заключение**: Завершите доказательство, подводя итог тому, что вы показали, что для любого \(\epsilon > 0\) существует \(\delta > 0\), такое что если \(0 < |x - a| < \delta\), то \(|f(x) - L| < \epsilon\). Это и есть формальное определение предела.

### Пример

Рассмотрим пример, чтобы проиллюстрировать процесс:

Пусть \(f(x) = 2x\) и мы хотим показать, что:
\[
\lim_{x \to 3} f(x) = 6
\]

1. **Формулировка предела**: Мы хотим показать, что \(\lim_{x \to 3} 2x = 6\).

2. **Определение эпсилон**: Пусть \(\epsilon > 0\) произвольно.

3. **Нахождение дельта**:
\[
|f(x) - 6| = |2x - 6| = 2|x - 3|
\]
Мы хотим, чтобы \(2|x - 3| < \epsilon\), что эквивалентно:
\[
|x - 3| < \frac{\epsilon}{2}
\]

4. **Выбор \(\delta\)**: Мы можем выбрать \(\delta = \frac{\epsilon}{2}\).

5. **Доказательство**: Теперь мы показываем, что если \(0 < |x - 3| < \delta\), то:
\[
|f(x) - 6| < \epsilon
\]
Это выполняется, так как:
\[
|f(x) - 6| = 2|x - 3| < 2\delta = \epsilon
\]

6. **Заключение**: Мы доказали, что для любого \(\epsilon > 0\) существует \(\delta = \frac{\epsilon}{2} > 0\), такое что если \(0 < |x - 3| < \delta\), то \(|f(x) - 6| < \epsilon\). Таким образом, \(\lim_{x \to 3} 2x = 6\).

Следуя этой последовательности, вы сможете формально определить предел функции с помощью языка эпсилон-дельта.