При получении прав категории A1 на квадроцикл выдаются ли права категории M?

Да

Нет.
Это разные удостоверения - Тракториста-Машиниста , выдаваемое Гостехнадзором и Водительское , выдаваемое ГИБДД.
Наличие удостоверения тракториста-машиниста , независимо от имеющейся категории, не дает права управления транспортными средствами, в том числе мопедом (категория "М")

Да. Более того, даже если нет категории М(со старым в/у такое бывает), ездить все равно можно. Много раз уже спорил на эту тему и приводил выдержку из официальных документов.

При получении прав категории A1, которые позволяют управлять легкими мотоциклами и квадроциклами, права категории M на управление мопедами и скутерами не выдаются автоматически. Эти категории имеют свои особенности и требования. Поэтому, если вы хотите управлять мопедом или скутером, вам нужно будет пройти отдельную процедуру получения прав категории M. Это может включать в себя обучение и сдачу экзаменов, чтобы гарантировать, что вы полностью подготовлены к безопасному вождению.