Вопрос по линалу и аналгем
почему в координаты нормального вектора плоскости можно подставить в каноническое уравнение прямой? Можно пояснение на записи письменно как это можно пояснить? Спасибо!
Если Вы ищете прямую, проходящую перпендикулярно плоскости, то лучшим вариантом направляющего вектора является нормальный вектор плоскости. Ведь он тоже перпендикулярен плоскости. Вспомните каноническое уравнение прямой:
(x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c
где (a, b, c) - направляющий вектор прямой (т.е параллельный данной прямой).
А теперь вспомним уравнение плоскости:
Ax + By + Cz + D = 0
где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости (т.е. перпендикулярен плоскости)
Взяв его в качестве направляющего вектора вы обеспечите перпендикулярность вашей прямой плоскости.
Чтобы понять, почему координаты нормального вектора плоскости можно подставить в каноническое уравнение прямой, давайте рассмотрим основные понятия.
Нормальный вектор плоскости: Пусть у нас есть плоскость, заданная уравнением Ax+By+Cz+D=0. Вектор n=(A,B,C) является нормальным вектором этой плоскости. Он перпендикулярен всем векторам, лежащим в плоскости.
Каноническое уравнение прямой: В трехмерном пространстве прямая может быть задана векторным уравнением:
r=r0+td
где r0 — точка на прямой, d — направляющий вектор прямой, а t — параметр.
Связь между нормальным вектором и направляющим вектором: Если прямая лежит в плоскости, то её направляющий вектор d должен быть перпендикулярен нормальному вектору n. Это означает, что скалярное произведение нормального вектора и направляющего вектора равно нулю:
n⋅d=0
Теперь, чтобы подставить координаты нормального вектора в уравнение прямой, мы можем использовать следующее:
Если у нас есть нормальный вектор n=(A,B,C), и мы хотим найти прямую, которая лежит в плоскости, заданной этим нормальным вектором, мы можем выбрать любой вектор d, который удовлетворяет условию n⋅d=0. Например, если d=(d1,d2,d3), то мы можем решить уравнение: Ad1+Bd2+Cd3=0 для нахождения подходящих значений d1, d2 и d3.
Таким образом, подставляя координаты нормального вектора в уравнение прямой, мы можем гарантировать, что прямая будет лежать в плоскости, так как её направляющий вектор будет перпендикулярен нормальному вектору плоскости.
Пример
Рассмотрим плоскость 2x+3y−z+4=0. Нормальный вектор будет n=(2,3,−1).
Если мы хотим найти прямую, которая лежит в этой плоскости, мы можем выбрать, например, направляющий вектор d=(3,−2,0). Проверим:
n⋅d=2⋅3+3⋅(−2)+(−1)⋅0=6−6+0=0
Скалярное произведение равно нулю, значит, прямая с направляющим вектором (3,−2,0) будет лежать в плоскости.
Таким образом, мы можем использовать нормальный вектор для определения условий, которым должен удовлетворять направляющий вектор прямой, чтобы прямая лежала в данной плоскости.