Помогите с геометрией. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках А(2;8;4), В(8;2;6), С(6;7;8)

Тут всё зависит от того, что ты уже знаешь! Если знаешь лишь скалярное произведение, то это одно, а если тебе известно и векторное, то это другое. А можно, вообще, через определитель 4-го порядка и координаты точек вычислять.

Площадь треугольника 16.3095064303
Периметр треугольника 20.2069231802

Найди кароче длину вектора BAxCA и раздели ее на два.

Есть формула расстояния между точками (например, А и В), заданными координатами:
а = √((xВ - xА)^2 + (yВ - yА)^2 + (zВ - zА)^2)
Если посчитать по этой формуле, расстояние АВ = 8,72 = а1, ВС = 5,74 = а2, АС = 5,74 = а3
По формуле Герона площадь тр-ка равна
√(р(р-а1)(р-а2)(р-а3)), где р = (а1+а2+а3)/2 = (8,72+5,74+5,74)/2= 10,1
Тогда площадь тр-ка равна
√(10,1(10,1-а1)(10,1-а2)(10,1-а3)) =
√(10,1(10,1-8,72)(10,1-5,74)(10,1-5,74) = √(10,1*1,38*4,36*4,36) = 4,36*√(10,1*1,38) =
4,36*√(10,1*1,38) = 4,36*3,73 = 16,28

Векторы:

?? = ? - ? = (8 - 2, 2 - 8, 6 - 4) = (6, -6, 2)
?? = ? - ? = (6 - 2, 7 - 8, 8 - 4) = (4, -1, 4)

Векторное произведение ?? × ??:

| i j k |
| 6 -6 2 |
| 4 -1 4 |

Компоненты:

x = (-6)×4 - 2×(-1) = -24 + 2 = -22
y = - (6×4 - 2×4) = - (24 - 8) = -16
z = 6×(-1) - (-6)×4 = -6 + 24 = 18

?? × ?? = (-22, -16, 18)

Модуль векторного произведения:

|?? × ??| = √((-22)² + (-16)² + 18²) = √(484 + 256 + 324) = √1064

Площадь:

S = (1/2) × |?? × ??| = (1/2) × √1064 = √266

Ответ:

√266