Китайская теорема об остатках 9 класс

китайская теорема об остатках — это классный инструмент в математике, который помогает решать системы сравнений. если у тебя есть несколько уравнений, где числа имеют разные модули, теорема подскажет, как найти число, которое одновременно удовлетворяет всем условиям.смысл в том, что если у тебя есть, например, два уравнения: x ≡ a1 (mod m1) и x ≡ a2 (mod m2), где m1 и m2 взаимно простые (то есть их наибольший общий делитель равен 1), то существует однозначное решение для x, которое меньше, чем произведение m1 и m2. если добавить больше уравнений, процесс аналогичен, но немного сложнее.как бы это ни звучало сложно, основной идея такова: у тебя есть "остатки" от деления на разные числа, и теорема гарантирует, что такое число x существует и его можно не только найти, но и вычислить! на практике это может быть полезно в различных задачах, например, при работе с криптографией или при решении задач в теории чисел. так что, если попадётся задача на остатки, помни про эту теорему!

定理

Пусть x от 1 до 2*3*5*7*11*13. Имеем линейную систему сравнений:
x ≡ 0 (2),
x ≡ x₁ (3),
x ≡ 0 (5),
x ≡ x₂ (7),
x ≡ 0 (11),
x ≡ x₃ (13),
где x₁, x₂, x₃ -- соответственно ненулевые элементы ℤ₃, ℤ₇, ℤ₁₃.

По китайской теореме об остатках решение можно записать как (x₁⋅(2⋅2⋅5⋅7⋅11⋅13) + x₂⋅(6⋅2⋅3⋅5⋅11⋅13) + x₃⋅(3⋅2⋅3⋅5⋅7⋅11)) (mod 2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13), и каждый набор (x₁,x₂,x₃) определяет единственное (по модулю 2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13) решение x. Тогда всего |ℤ₃*||ℤ₇*||ℤ₁₃*| = 144 решений.