Решение задачи на программирование

def count_bridge_arrangements(a, b):
"""
Функция подсчитывает количество способов компоновки моста.

Args:
a: Количество П-образных пролетов.
b: Количество Т-образных пролетов.

Returns:
Количество вариантов компоновки моста по модулю 1000000007.
"""

# Базовый случай: если нет Т-образных пролетов, то есть только один вариант.
if b == 0:
return 1

# Создаем матрицу динамического программирования.
dp = [[0 for _ in range(b + 1)] for _ in range(a + 1)]

# Инициализируем первый столбец:
# если только П-образные пролеты, то есть только один вариант.
for i in range(a + 1):
dp[i][0] = 1

# Заполняем матрицу динамического программирования.
for i in range(1, a + 1):
for j in range(1, b + 1):
# Если текущий пролет П-образный, то у нас есть два варианта:
# 1) Добавить его к существующему варианту с Т-образным пролетом.
# 2) Добавить его к существующему варианту с П-образным пролетом.
dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]) % 1000000007

# Возвращаем количество вариантов компоновки.
return dp[a][b]

# Ввод данных
n, a, b = map(int, input().split())

# Проверка входных данных
if a + b != n:
print("Некорректный ввод данных")
else:
# Вывод результата
print(count_bridge_arrangements(a, b))


Пояснение к коду:

1. Функция count_bridge_arrangements(a, b):
- Принимает на вход количество П-образных (a) и Т-образных (b) пролетов.
- Возвращает количество вариантов компоновки моста по модулю 1000000007.
- Использует динамическое программирование для решения задачи.

2. Базовый случай:
- Если b == 0, то есть нет Т-образных пролетов, то есть только один вариант компоновки - все пролеты П-образные.

3. Матрица динамического программирования:
- Создается матрица dp размером (a + 1) x (b + 1), где dp[i][j] хранит количество вариантов компоновки моста с i П-образными и j Т-образными пролетами.

4. Инициализация:
- Первый столбец матрицы dp инициализируется единицами, так как при наличии только П-образных пролетов существует только один вариант компоновки.

5. Заполнение матрицы:
- Для каждой ячейки матрицы dp[i][j] с i > 0 и j > 0 вычисляется количество вариантов компоновки.
- Если текущий пролет П-образный, то мы можем добавить его к существующему варианту с Т-образным пролетом (dp[i - 1][j]) или к существующему варианту с П-образным пролетом (dp[i][j - 1]).
- Сумма этих вариантов вычисляется по модулю 1000000007 для предотвращения переполнения.

6. Возврат результата:
- Функция возвращает значение dp[a][b], которое соответствует количеству вариантов компоновки моста с a П-образными и b Т-образными пролетами.

7. Ввод и вывод данных:
- Программа считывает значения n, a и b с помощью функции input().
- Проверяет, что a + b == n, иначе выводит сообщение об ошибке.
- Вызывает функцию count_bridge_arrangements для получения результата и выводит его на экран.

Задача сводится к динамическому программированию. Прямой перебор вариантов неэффективен при больших n. Ключевое ограничение — каждый Т-образный пролет должен соседствовать хотя бы с одним П-образным. Это значит, что последовательность пролетов не может содержать двух или более Т-образных пролетов подряд без П-образного между ними.

Давайте определим динамическое программирование следующим образом:

dp[i][j][k] — количество способов построить мост длины i, используя j П-образных пролетов и k Т-образных пролетов, при условии, что последний пролет — k (0 - П-образный, 1 - Т-образный).

Базовый случай:

dp[1][1][0] = 1 (мост длиной 1, один П-образный пролет)
dp[i][j][k] = 0 для всех остальных случаев, где i=1.

Рекуррентное соотношение:

Если последний пролет П-образный (k == 0):
dp[i][j][0] = (dp[i-1][j-1][0] + dp[i-1][j-1][1]) % 1000000007 (добавляем П-образный пролет к существующему мосту, последний пролет которого может быть как П, так и Т)

Если последний пролет Т-образный (k == 1):
dp[i][j][1] = dp[i-1][j][0] % 1000000007 (добавляем Т-образный пролет только к мосту, который заканчивается П-образным пролетом)

Финальный ответ будет суммой dp[n][a][0] и dp[n][a][1], так как мост должен начинаться и заканчиваться П-образными пролетами.

Код (Python):

Python

MOD = 1000000007

def count_ways(n, a, b):
if a < 2 or a + b != n:
return 0 # Невозможно построить мост с такими ограничениями

dp = {} # Используем словарь для экономии памяти

def solve(i, j, k):
if (i, j, k) in dp:
return dp[(i, j, k)]
if i == 1:
if j == 1 and k == 0:
return 1
else:
return 0
if k == 0:
res = (solve(i - 1, j - 1, 0) + solve(i - 1, j - 1, 1)) % MOD
else:
res = solve(i - 1, j, 0) % MOD
dp[(i, j, k)] = res
return res

return (solve(n, a, 0) + solve(n, a, 1)) % MOD

n, a, b = map(int, input().split())
print(count_ways(n, a, b))

Этот код эффективно решает задачу с помощью динамического программирования, используя мемоизацию для ускорения вычислений. Обратите внимание на обработку граничных условий и использование модулярной арифметики для предотвращения переполнения. В случае очень больших значений n, можно рассмотреть оптимизацию памяти за счет итеративного подхода вместо рекурсивного.