Задание по математике

Докажем, что \( 10^{am} - 1 \) делится на \( 10^a - 1 \) и \( 10^m - 1 \).

1. **Делимость на \( 10^a - 1 \):**

Заметим, что \( 10^{am} - 1 \) можно представить в виде разложения по степени \( a \):
\[
10^{am} - 1 = (10^a)^m - 1.
\]
Это выражение является разностью степеней и, согласно формуле разности степеней, делится на \( 10^a - 1 \). Конкретно, можно записать:
\[
(10^a)^m - 1 = (10^a - 1)(10^{a(m-1)} + 10^{a(m-2)} + \dots + 10^a + 1),
\]
где \( 10^{am} - 1 \) делится на \( 10^a - 1 \) по построению.

2. **Делимость на \( 10^m - 1 \):**

Теперь рассмотрим выражение \( 10^{am} - 1 \) с точки зрения степеней \( m \). Представим его в виде:
\[
10^{am} - 1 = (10^m)^a - 1.
\]
По аналогии с предыдущим шагом, это выражение также является разностью степеней и делится на \( 10^m - 1 \):
\[
(10^m)^a - 1 = (10^m - 1)(10^{m(a-1)} + 10^{m(a-2)} + \dots + 10^m + 1),
\]
где \( 10^{am} - 1 \) делится на \( 10^m - 1 \).

Таким образом, мы доказали, что \( 10^{am} - 1 \) действительно делится на \( 10^a - 1 \) и на \( 10^m - 1 \).