Давно не было диффурчиков...

рассмотрим сначала однородное уравнение
2 x (x + 1) y'' - (x + 2) y' + y = 0
попробуем подобрать решение в виде y = ax^2 +bx+c
после подстановки и приведения подобных получим условия
a= 0 , c=2b ==> y = bx+2b = b(x+2), возьмем b=1 ==> y = x+2

нашли одно частное решение y1 = x+2
второе решение можно найти по формуле Лиувилля — Остроградского.
после возни с интегралами получим y2 = -2 sqrt(x+1)

общее решение однородного уравнения yоо = C1*(x+2) +C2 * sqrt(x+1)

частное решение неоднородного уравнения снова можно поискать в виде y=ax^2+bx+c.
получим условие a = -1, c = 2b . в качестве решения возьмем y = -x^2

==> yон = C1*(x+2) +C2 * sqrt(x+1) -x^2

из краевых условий получим C1 = 1, C2 = 2

Ответ: y = -x^2+ x+2 +2 * sqrt(x+1)