Алгебра 9 класс

Рассмотрим сумму S=(1
2
+1⋅3+3
2
)+(3
2
+3⋅5+5
2
)+(5
2
+5⋅7+7
2
)+…+(97
2
+97⋅99+99
2
)+(99
2
+99⋅101+101
2
).

Заметим, что каждая скобка в сумме имеет вид (n
2
+n(2n+2)+(2n+2)
2
), где n пробегает значения от 1 до 99 с шагом 2.

Рассмотрим общую формулу для n-й скобки: (n
2
+n(2n+2)+(2n+2)
2
)

Упростим выражение внутри скобки: n
2
+n(2n+2)+(2n+2)
2
=n
2
+2n
2
+2n+4n
2
+8n+4=7n
2
+10n+4

Теперь сумма S принимает вид: S=∑
n=1,3,5,…,99
​
(7n
2
+10n+4)

Разделим сумму на три части: S=7∑
n=1,3,5,…,99
​
n
2
+10∑
n=1,3,5,…,99
​
n+4∑
n=1,3,5,…,99
​
1

Рассмотрим каждую сумму отдельно.

Сумма квадратов нечетных чисел от 1 до 99: ∑
n=1,3,5,…,99
​
n
2
=1
2
+3
2
+5
2
+…+99
2
Это сумма квадратов первых 50 нечетных чисел. Формула для суммы квадратов первых k нечетных чисел: ∑
k=1
m
​
(2k−1)
2
=
3
m(4m
2
−1)
​
Для m=50: ∑
n=1,3,5,…,99
​
n
2
=
3
50(4⋅50
2
−1)
​
=
3
50(10000−1)
​
=
3
50⋅9999
​
=166650
Сумма нечетных чисел от 1 до 99: ∑
n=1,3,5,…,99
​
n=1+3+5+…+99 Это сумма первых 50 нечетных чисел. Формула для суммы первых k нечетных чисел: ∑
k=1
m
​
(2k−1)=m
2
Для m=50: ∑
n=1,3,5,…,99
​
n=50
2
=2500
Сумма единиц для нечетных чисел от 1 до 99: ∑
n=1,3,5,…,99
​
1=50
Теперь подставим эти значения в формулу для S: S=7⋅166650+10⋅2500+4⋅50 S=7⋅166650+10⋅2500+4⋅50 S=1166550+25000+200 S=1191750+200 S=1191950

Ответ: 1191950

Qwen2.5-Math-72B-instruct.
Решение: