Математика 10 класс

Для решения этой задачи, важно понять, какие двузначные числа Вася может использовать, чтобы избежать их сумм, равных 90. Двузначные числа варьируются от 10 до 99, и мы можем определить пары чисел, сумма которых равна 90, чтобы их исключить.

### Анализ:
1. **Пары чисел с суммой 90**: Для двузначных чисел можно составить такие пары:
- (11, 79), (12, 78), (13, 77), (14, 76), (15, 75), (16, 74), (17, 73), (18, 72), (19, 71), (20, 70), (21, 69), (22, 68), (23, 67), (24, 66), (25, 65), (26, 64), (27, 63), (28, 62), (29, 61), (30, 60), (31, 59), (32, 58), (33, 57), (34, 56), (35, 55), (36, 54), (37, 53), (38, 52), (39, 51), (40, 50), (41, 49), (42, 48), (43, 47), (44, 46).

Всего таких пар — 36.

2. **Максимальное количество чисел без сумм 90**: Чтобы Вася написал максимально возможное количество чисел, ему достаточно взять одно число из каждой пары. Так, он сможет использовать 45 чисел (все двузначные числа без повторов, кроме исключенных для каждой пары).

### Ответ:
Максимальное количество чисел, которые Вася мог написать на доске, не имея сумм, равных 90, — это **45 чисел**.