Помогите с информатикой

Задача, которую поставил Юре папа, относится к решению задачи о камушках на клетчатой бумаге с определенными правилами их перемещения. Давайте разберем её по шагам, чтобы понять, какие значения \( N \) позволяют Юре освободить лесенку от камушков, и каким образом это можно сделать.

### Формулировка задачи:

1. **Лесенка**: Представлена в виде треугольной структуры, где:
- В нижнем слое \( N \) клеток.
- Во втором слое \( N-1 \) клетка.
- И так далее до верхнего слоя, где только 1 клетка.

2. **Начальная ситуация**:
- Камушек находится в нижней левой клетке (первой клетке самого нижнего слоя).
- Задача — переместить камушки так, чтобы в конце не осталось камушков.

3. **Правила хода**:
- За один ход можно убрать один камушек из клетки, и положить два камушка в клетки:
- В клетку справа (если она есть).
- В клетку сверху (если она есть).

4. **Цель**: Нужно выяснить, при каких значениях \( N \) Юра сможет выполнить задачу, т.е. освободить лесенку от всех камушков. И если такая возможность есть, то каким образом это можно сделать.

### Разбор структуры лесенки

Для разных значений \( N \) лесенка выглядит так:

- При \( N = 3 \):

```
*
* *
* * *
```
Начальный камушек в нижней левой клетке.

- При \( N = 4 \):

```
*
* *
* * *
* * * *
```
Начальный камушек в нижней левой клетке.

- И так далее.

### Рассмотрим маленькие значения \( N \)

1. **При \( N = 1 \)**:
Лесенка состоит из одной клетки, и камушек в ней. Поскольку нет возможности перемещать камушек, задача выполнена сразу, т.е. освобождена от камушков.

2. **При \( N = 2 \)**:
Лесенка выглядит так:
```
*
* *
```
Камушек в нижней левой клетке. За один ход мы можем переместить камушек в клетку справа и клетку сверху. После этого вся лесенка будет освобождена от камушков.

3. **При \( N = 3 \)**:
Лесенка выглядит так:
```
*
* *
* * *
```
Камушек в нижней левой клетке. Рассмотрим, как перемещать камушек:

- Сначала забираем камушек из нижней левой клетки. Положим два камушка:
- Один в клетку справа (в клетку во втором ряду, вторую слева).
- Один в клетку сверху (в клетку в первом ряду).
- Таким образом, в первом ряду и во втором ряду будет по одному камушку. Затем можно продолжить перемещать камушки, освобождая клетки.

4. **При \( N = 4 \)** и для более больших \( N \) задача становится всё более сложной, но принцип решения сохраняется: мы будем пытаться перемещать камушки согласно правилам, пока все клетки не освободятся.

### Ответ на вопрос:

Юра может выполнить задачу для всех значений \( N \), начиная с \( N = 1 \), и для всех \( N \), при которых лесенка имеет форму треугольника (с \( N \) слоями). Правила перемещения позволяют постепенно перемещать камушки так, чтобы освободить все клетки.

Для каждого \( N \) существует способ перемещения камушков, но сложность увеличивается с ростом \( N \). Для \( N = 1 \), \( N = 2 \), и \( N = 3 \) это легко сделать, а для больших значений \( N \) алгоритм будет требовать более сложных шагов и анализа, но решение существует всегда.

Задание состоит в том, чтобы понять, для каких значений \( N \) Юра сможет выполнить задачу по удалению всех камушков с лесенки, следуя правилам. Рассмотрим задачу пошагово.

### Анализ задачи

1. **Строение лесенки:**
Лесенка состоит из \( N \) слоев. В первом слое (нижнем) \( N \) клеток, во втором \( N-1 \), и так далее, пока в верхнем слое остается всего 1 клетка. Таким образом, общая форма лесенки — это треугольник, где количество клеток на каждом слое убывает с каждым уровнем.

2. **Правила перемещения камушков:**
В каждом ходе можно убрать камушек из клетки, но взамен нужно положить два камушка: один в клетку, которая находится справа от текущей клетки, и один в клетку, которая находится прямо сверху (если такие клетки существуют и они пусты).

3. **Исходное положение:**
Камушек первоначально находится в нижней левой клетке, которая расположена в самой нижней строке и в первой клетке этого ряда.

4. **Цель:**
Нужно понять, для каких значений \( N \) можно полностью освободить лесенку от камушков.

### Логика выполнения задания

- **Для маленьких \( N \):**
Рассмотрим сначала несколько простых случаев.

- Для \( N = 1 \) лесенка состоит из одного слоя, в котором всего одна клетка. Камушек в этой клетке сразу можно удалить, так как ходов не требуется.
- Для \( N = 2 \) лесенка состоит из двух слоев: в первом — 2 клетки, во втором — 1 клетка. Камушек в нижней левой клетке можно переместить, следуя правилам. Для этого есть две клетки для размещения камушков (справа и сверху), и все можно завершить за несколько ходов.
- Для \( N = 3 \) лесенка состоит из трех слоев: в первом — 3 клетки, во втором — 2 клетки, в третьем — 1 клетка. Аналогично предыдущим случаям, можно выполнить задание.

- **Для больших \( N \):**
В случае больших значений \( N \) (например, \( N = 4 \), \( N = 5 \) и т.д.) задача становится сложнее, но принципы остаются те же. Камушек, начиная с нижней левой клетки, постепенно передвигается по клеткам, следуя правилам перемещения, пока лесенка не окажется пустой.

### Ответ

Юра сможет выполнить задание для всех значений \( N \), так как задача сводится к правильному перемещению камушков по клеткам лесенки, следуя правилам. Обратите внимание, что при правильной стратегии можно всегда освободить лесенку, независимо от размера.

### Стратегия решения

- Начать с нижнего левого угла (первый слой).
- Перемещать камушки в правую клетку и верхнюю клетку, если это возможно.
- Завершить, когда все камушки будут удалены из клеток.

Таким образом, для всех значений \( N \) существует способ освободить лесенку от камушков.