Найдите mах (x + y + z), если известно, что у € N, z € N и 4x^2+ y^2+ z^2 + 4xy - 4xz - 2 = 0.

Z

Дано уравнение: 4x^2 + y^2 + z^2 + 4xy - 4xz - 2 = 0.
Преобразуем: (2x - y + z)^2 = 2.
Так как y, z натуральные, то 2x - y + z = ±1.
Случай 1: 2x - y + z = 1. Максимизируем x + y + z, получаем x = 1, y = 1, z = 0.
Случай 2: 2x - y + z = -1. Максимизируем x + y + z, получаем x = 0, y = 1, z = 0.
Ответ: max(x + y + z) = 2.

Пусть n = y - z ∈ ℤ; m = yz ∈ ℕ.
Тогда 4x^2 + y^2 + z^2 + 4xy - 4xz - 2 = 0 то же самое, что 4x^2 + 4nx + n^2 + 2m - 2 = 0; x^2 + n*x + 1/4*(n^2+2m-2) = 0; хотим вещественные x, поэтому считаем D = 2-2m, это неотрицательно при m ≤ 1, а так как m ∈ ℕ, то необходимо m = 1, то есть y = z = 1, а следовательно, x=0. Это значит, что при заданных ограничениях x+y+z просто равно 2.