Помогите разобраться с задачей

Question

Помогите разобраться с задачей

Мария Семенова Ученик (144), на голосовании 1 неделю назад

В олимпиаде участвовало 50 человек. Арифметическую задачу решили 30 человек, геометрическую — 10, логическую — 9. Все три задачи решили 2 человека, арифметическую и логическую — 7, арифметическую и геометрическую — 3, логическую и геометрическую — 4. Сколько человек:

1) решили арифметическую или геометрическую задачи;

2) решили только арифметическую задачу,

3) решили арифметическую и логическую задачи, но не решили геометрическую задачу;

4) решили только логическую задачу;

5) решили логическую задачу тогда и только тогда, когда решили геометрическую задачу;

6) не решили ни одной задачи. ( здесь 13 вроде)

Answer 1

Рассмотрим задачу, используя обозначения множеств для удобства:

- Пусть \( A \) — множество участников, решивших арифметическую задачу (\( |A| = 30 \)),
- \( B \) — множество участников, решивших геометрическую задачу (\( |B| = 10 \)),
- \( C \) — множество участников, решивших логическую задачу (\( |C| = 9 \)).

Также известны следующие данные:
- Все три задачи решили 2 человека: \( |A \cap B \cap C| = 2 \).
- Арифметическую и логическую задачи решили 7 человек: \( |A \cap C| = 7 \).
- Арифметическую и геометрическую задачи решили 3 человека: \( |A \cap B| = 3 \).
- Логическую и геометрическую задачи решили 4 человека: \( |B \cap C| = 4 \).

Используем формулу включения-исключения для объединения множеств, чтобы найти количество людей, решивших хотя бы одну задачу.

\[
|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|
\]

Подставим значения:

\[
|A \cup B \cup C| = 30 + 10 + 9 - 3 - 7 - 4 + 2 = 37
\]

### Ответы на вопросы:

1) **Сколько человек решили арифметическую или геометрическую задачи?**

Это множество участников, решивших хотя бы одну из задач (арифметическую или геометрическую). Из формулы включения-исключения для объединения трёх множеств мы получили, что \( |A \cup B \cup C| = 37 \).

**Ответ**: 37 человек.

2) **Сколько человек решили только арифметическую задачу?**

Найдём тех, кто решил только арифметическую задачу, вычтя всех, кто решал другие задачи совместно с арифметической.

\[
|A| - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| = 30 - 3 - 7 + 2 = 22
\]

**Ответ**: 22 человека.

3) **Сколько человек решили арифметическую и логическую задачи, но не решили геометрическую задачу?**

Нам нужно количество участников, входящих в \( A \cap C \), но не входящих в \( B \):

\[
|A \cap C| - |A \cap B \cap C| = 7 - 2 = 5
\]

**Ответ**: 5 человек.

4) **Сколько человек решили только логическую задачу?**

Найдём тех, кто решил только логическую задачу:

\[
|C| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| = 9 - 7 - 4 + 2 = 0
\]

**Ответ**: 0 человек.

5) **Сколько человек решили логическую задачу тогда и только тогда, когда решили геометрическую задачу?**

Это означает, что нам нужно найти тех, кто решал обе задачи — логическую и геометрическую — но не решал арифметическую:

\[
|B \cap C| - |A \cap B \cap C| = 4 - 2 = 2
\]

**Ответ**: 2 человека.

6) **Сколько человек не решили ни одной задачи?**

Всего участвовало 50 человек, и 37 из них решили хотя бы одну задачу. Следовательно, количество участников, не решивших ни одной задачи:

\[
50 - 37 = 13
\]

**Ответ**: 13 человек.

Answer 2

Вова Андреев Профи (874) 1 месяц назад

13 человек не решили ни одной задачи

Answer 3

Решим задачу с помощью формул теории множеств.

Дано:
- Всего участников: 50
- Решили арифметическую (А): 30
- Решили геометрическую (Г): 10
- Решили логическую (Л): 9
- Решили все три (А∩Г∩Л): 2
- Решили А и Л: 7
- Решили А и Г: 3
- Решили Л и Г: 4

1) Решили арифметическую или геометрическую:
А∪Г = |А| + |Г| - |А∩Г| = 30 + 10 - 3 = 37 человек

2) Решили только арифметическую:
|А| - |А∩Г| - |А∩Л| + |А∩Г∩Л| = 30 - 3 - 7 + 2 = 22 человека

3) Решили А и Л, но не Г:
|А∩Л| - |А∩Г∩Л| = 7 - 2 = 5 человек

4) Решили только логическую:
|Л| - |А∩Л| - |Г∩Л| + |А∩Г∩Л| = 9 - 7 - 4 + 2 = 0 человек

5) Решили Л тогда и только тогда, когда Г:
|Г∩Л| + количество не решивших ни Г, ни Л =
= 4 + (50 - 37 - 0) = 17 человек

6) Не решили ни одной:
50 - (|А| + |Г| + |Л| - |А∩Г| - |А∩Л| - |Г∩Л| + |А∩Г∩Л|) =
= 50 - (30 + 10 + 9 - 3 - 7 - 4 + 2) = 13 человек

Ответ:
1) 37 человек
2) 22 человека
3) 5 человек
4) 0 человек
5) 17 человек
6) 13 человек