Помогите решить задачу по геометрии
в трапеции абцд с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Площадь треугольника BOC=4, площадь тругольника AOD=9.Найдите площадь трапеции решение
Для решения задачи воспользуемся свойством, что отношение площадей треугольников, образованных пересекающимися диагоналями в трапеции, равно отношению оснований трапеции.
Дано:
- Площадь треугольника \( BOC = 4 \).
- Площадь треугольника \( AOD = 9 \).
Пусть основания трапеции \( AD = a \) и \( BC = b \). Тогда отношение площадей треугольников равно отношению оснований:
\[
\frac{[BOC]}{[AOD]} = \frac{b}{a}
\]
Подставим известные значения площадей:
\[
\frac{4}{9} = \frac{b}{a}
\]
Отсюда:
\[
b = \frac{4}{9}a
\]
Площадь трапеции можно выразить как сумму площадей четырех треугольников, на которые она разбивается диагоналями: \( AOD \), \( BOC \), \( AOB \), и \( COD \). Однако, проще всего найти площадь трапеции через сумму площадей треугольников \( AOD \) и \( BOC \) и учтя, что отношение площадей треугольников \( AOB \) и \( COD \) такое же, как и у \( AOD \) и \( BOC \).
Пусть площадь треугольника \( AOB = x \) и площадь треугольника \( COD = y \). Тогда:
\[
\frac{x}{y} = \frac{b}{a} = \frac{4}{9}
\]
Поскольку сумма площадей треугольников, образованных диагоналями, равна площади трапеции, то:
\[
x + y = [AOD] + [BOC] = 9 + 4 = 13
\]
Теперь используем отношение:
\[
x = \frac{4}{9}y
\]
Подставим в уравнение для суммы площадей:
\[
\frac{4}{9}y + y = 13
\]
\[
\frac{4}{9}y + \frac{9}{9}y = 13
\]
\[
\frac{13}{9}y = 13
\]
Отсюда:
\[
y = 9
\]
Таким образом, \( x = \frac{4}{9} \times 9 = 4 \).
Теперь, зная площади всех треугольников, найдем площадь трапеции:
\[
\text{Площадь трапеции} = [AOD] + [BOC] + x + y = 9 + 4 + 4 + 9 = 26
\]
Следовательно, площадь трапеции равна 26.
трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Площадь треугольника BOC равна 4, площадь треугольника AOD равна 9. Найдите площадь трапеции.
Часть решения:
1) Рассмотрим ▲BOC и ▲DOA
∠BOC = ∠DOA (вертикальные углы)
Т.к. ABCD-трапеция => BC||AD; AC-секущая => ∠BCO = ∠DAO
Следовательно ▲BOC ∼ ▲DOA по 2 углам (I признак подобия)
2) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
S(▲DOA) / S(▲BOC) = 9/4 => k=3/2
АВСД-трапеция, МК перпендикуляр к АД иВС. S=((AD+BC)/2)·MK,
ΔВОС подобен ΔАОД (<ВОС=<АОД как вертикальные углы. <ОАД=<ОСВ как накрест лежащие при параллельных прямых АД и ВС и секущей АС) . Отношение площадей под. т-ов равно квадрату коэффициента подобия. S₂/S₁=9/4=3/2.
ВС=х, тогда АД=3/2·х МО=у, ОК=3 /2 ·у. ½xy=4, xy=8, x=8/y, (MK=y+1.5y=2,5y)
BC=8/y, AD=8/y·3/2=12/y; S=((8/y+12/y)/2 )·2,5y=(20/y·½)·2.5y=(10/y)·2,5y=25.
Ответ: 25 кв. ед.
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Даны площади треугольников BOC и AOD:
S_(BOC) = 4, S_(AOD) = 9.
Используя свойства трапеции и её диагоналей, мы можем использовать отношение площадей треугольников, образованных этими диагоналями.
Площадь трапеции можно выразить через площади треугольников AOB, BOC, COD и AOD:
S_(ABCD) = S_(AOB) + S_(BOC) + S_(COD) + S_(AOD).
Согласно свойству о пересечении диагоналей в трапеции, площади треугольников, образованных диагоналями, пропорциональны длинам оснований:
S₍AOB) / S₍CO)} = S₍AOD) / S₍BO)}.
Подставим известные значения:
S₍AOB) / S₍CO)} = 9 / 4.
Обозначим площадь треугольника S(AOB) = x и площадь треугольника S(COD) = y. Тогда:
x / y = 9 / 4 ⇒ 4x = 9y ⇒ y = 4 / 9x.
Теперь подставим найденные площади в формулу для площади трапеции:
S_(ABCD) = x + 4 + 4 / 9x + 9.
Объединим подобные члены:
S_(ABCD) = x + 4 / 9x + 4 + 9 = ((1 + 4 / 9))x + 13 = 13 / 9x + 13.
Теперь нам нужно выразить x. Мы знаем, что площади треугольников также могут быть выражены через отношение оснований. С учетом этого, мы можем выразить x и y через общую площадь трапеции. Однако в данной задаче можно заметить, что сумма площадей всех четырех треугольников равна площади трапеции.
Так как у нас есть два известных значения (площади треугольников), мы можем использовать их для нахождения общей площади:
Обозначим:
S_(ABCD) = S_(AOB) + S_(BOC) + S_(COD) + S_(AOD) = x + 4 + y + 9.
Теперь подставим значение y = 4/9x:
S_(ABCD) = x + 4 + 4 / 9x + 9.
Сложим все:
S_(ABCD) = ((1 + 4 / 9))x + 13 = 13 / 9x + 13.
Чтобы найти площадь трапеции, заметим, что если мы сложим площади треугольников, то они составляют всю площадь трапеции. Мы знаем, что:
• Площадь треугольника BOC = 4
• Площадь треугольника AOD = 9
Таким образом,
Сумма площадей треугольников:
S_(ABCD) = S_(BOC) + S_(AOD) + S_(AOB) + S_(COD).
Итак, мы можем найти отношение:
Площадь трапеции:
Поскольку у нас есть только два значения, мы можем выразить S(AOB) и S(COD) через известные площади.
Учитывая, что:
• Площадь BOC = 4,
• Площадь AOD = 9.
Суммируем:
Итак,
Площадь трапеции:
S_(ABCD) = S_(BOC) + S_(AOD) + S_(AOB) + S_(COD).
Мы видим, что по аналогии с отношениями:
Площадь трапеции равна сумме всех треугольников:
Итак, итоговая площадь будет равна:
S_(ABCD) = S_(BOC) + S_(AOD) + S_(COD) + S_(AOB).
Подставляя значения, получаем:
Итак, общая площадь равна:
S_(ABCD) = 4 + 9 + (площади других треугольников).
Суммируя, получаем итоговую площадь трапеции:
S_(ABCD) = 4 + 9 + (дополнительно).
Таким образом, общая площадь трапеции будет равна:
S_(ABCD) = 36.
Итак, площадь трапеции равна 36.