1 10/11+1 11/12+ 1 12/13+...1 99/100, как это решить???

Полностью напиши

Это сумма ряда, где каждый член имеет вид 1+
n+1
n

, где n пробегает значения от 10 до 99.

Каждый член ряда можно представить в виде 1+
n+1
n

=
n+1
n+1

+
n+1
n

=
n+1
n+1+n

=
n+1
2n+1

.

Теперь мы можем переписать сумму ряда:

∑
n=10
99

(1+
n+1
n

)=∑
n=10
99


n+1
2n+1

.

Мы можем разделить сумму на две части:

∑
n=10
99


n+1
2n+1

=∑
n=10
99


n+1
2n

+∑
n=10
99


n+1
1

.

Для первой части мы можем использовать тот факт, что
n+1
2n

=2−
n+1
1

:

∑
n=10
99


n+1
2n

=∑
n=10
99

(2−
n+1
1

)=2∑
n=10
99

1−∑
n=10
99


n+1
1

.

Сумма ∑
n=10
99

1 равна просто 90 (так как это сумма 90 единиц).

Для второй части мы имеем ∑
n=10
99


n+1
1

:

∑
n=10
99


n+1
1

=
11
1

+
12
1

+
13
1

+⋯+
100
1

.

Это гармонический ряд, который расходится, но мы можем использовать тот факт, что ∑
k=1
∞


k+1
1

=1+∑
k=1
∞


k+1
1

=1+(1+∑
k=1
∞


k+1
1

)=1+1+∑
k=1
∞


k+1
1

=2+∑
k=1
∞


k+1
1

.

Однако этот ряд расходится, поэтому мы не можем напрямую вычислить его сумму. Но мы можем использовать тот факт, что ∑
k=1
∞


k+1
1

расходится, и оценить сумму, используя интегральный тест или сравнение с гармоническим рядом. Для наших целей мы можем просто сказать, что сумма гармонического ряда от 11 до 100 приблизительно равна ln(100)−ln(10)=ln(
10
100

)=ln(10).

Итак, ∑
n=10
99


n+1
1

≈ln(10).

Теперь мы можем подставить это обратно в наше исходное выражение:

∑
n=10
99


n+1
2n+1

=2∑
n=10
99

1−∑
n=10
99


n+1
1

=2⋅90−ln(10)=180−ln(10).

Для второй части суммы мы имеем ∑
n=10
99


n+1
1

:

∑
n=10
99


n+1
1

=
11
1

+
12
1

+
13
1

+⋯+
100
1

.

Это гармонический ряд, который расходится, но мы можем использовать тот факт, что ∑
k=1
∞


k+1
1

=1+∑
k=1
∞


k+1
1

=1+(1+∑
k=1
∞


k+1
1

)=1+1+∑
k=1
∞


k+1
1

=2+∑
k=1
∞


k+1
1

.

Однако этот ряд расходится, поэтому мы не можем напрямую вычислить его сумму. Но мы можем использовать тот факт, что ∑
k=1
∞


k+1
1

расходится, и оценить сумму, используя интегральный тест или сравнение с гармоническим рядом. Для наших целей мы можем просто сказать, что сумма гармонического ряда от 11 до 100 приблизительно равна ln(100)−ln(10)=ln(
10
100

)=ln(10).

Итак, ∑
n=10
99


n+1
1

≈ln(10).

Теперь мы можем подставить это обратно в наше исходное выражение:

∑
n=10
99


n+1
2n+1

=2∑
n=10
99

1−∑
n=10
99


n+1
1

=2⋅90−ln(10)=180−ln(10).

Следовательно, сумма ряда приблизительно равна 180−ln(10). Точное значение суммы равно ∑
n=10
99


n+1
2n+1

=180−ln(10).

Ответ: 180−ln(10)

1/(10 * 11) = 1/10-1/11
1/(11 * 12) = 1/11 - 1/12
1/(10 * 11) + 1/(11 * 12) = 1/10-1/11 + 1/11 - 1/12 = 1/10 - 1/12

Может понадобиться знак суммы:
⅀(n=a;b)f(n) = f(a)+...+f(b)

Во всех трёх примерах дробь под знаком суммы разбивается на разность двух дробей и в результате суммирования большинство слагаемых этих конечных рядов взаимосокращаются:

313. ⅀(n=1;99)1/[n·(n+1)] =
⅀(n=1;99)[1/n-1/(n+1)] =
1/1-1/2+...+1/99-1/100 = 1-1/100 = 0,99

314. ⅀(n=2;100)2/[(n-1)(n+1)] =
⅀(n=2;100)[1/(n-1)-1/(n+1)] =
1/1-1/3+...+1/99-1/101 = 1-1/101 = 100/101

315. Тут выражение под знаком суммы
такое же как и в примере 313
⅀(n=10;99)1/[n·(n+1)] =
⅀(n=10;99)[1/n-1/(n+1)] =
1/10-1/11+1/11-1/12+1/12-1/13+...
+1/98-1/99+1/99-1/100 = 1/10-1/100 = 0,09
Смотрите:
-1/11+1/11-1/12+1/12+...-1/98+1/98-1/99+1/99 просто сократились!

P.S. А все дурацкие ответы дизлайкайте, пожалуйста, чтобы они глаза не мусолили!

Задача 313.
Заметим следующие:
1/(1*2) + 1/(2*3) = 2/(1+2) = 2/3,
1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) = 3/(1+3) = 3/4,
1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) = 4/(1+4) = 4/5,
и так далее, тогда вся сумма будет равна:
1/(1*2) + 1/(2*3) +1/(3*4) +... + 1/(99*100) = 99/(1+99) = 99/100
Задача 315.
Эта сумма равна сумме из задачи 313 минус сумма:
1/(1*2) + 1/(2*3) +...+1/(9*10) = 9/(1+9) = 9/10.
Тогда искомая сумма:
99/100 - 9/10 = 90/100.
Задача 314.
Аналогично:
2/(1*3) + 2/(3*5) = 2*2/(1+4),
2/(1*3) + 2/(3*5) + 2/(5*7) = 2*3/(1+6),
и так далее, в результате получим,
сумма равна:
2*50/(1+100) = 100/101.