Помогите решить геометрию
Вариант 2
1. Если А(5;0) , В(3;-6) – координаты концов отрезка АВ, то его середина имеет координаты….
2. Вектор а = 6 i –8 j. Длина вектора равна……
3 Вектор а имеет координаты а(-3;1) .Его разложение по координатным векторам равно…
4 А ( 2;7), В( -2;1). Координаты вектора АВ равны……
5. Даны точки А(0;3) и В ( 5;-3) . А – середина отрезка СВ. Координаты точки С равны…..
6 . Даны векторы а{3; -2}, b{-2; 1} c{ 2;1}. Найти р и q, если р = 2а+ 3с и q= 2 b - 3с;
7. Найдите координаты и длину вектора d, если d = m – n, m{-3, 6} n {2; -2}
8. Напишите уравнение окружности с центром в точке А (- 3;2), проходящей через точку В (0; - 2).
9. Треугольник МNK задан координатами своих вершин: М (- 6; 1), N (2; 4), К (2; - 2).
а) Докажите, что ΔMNK- равнобедренный;
б) Найдите высоту, проведённую из вершины М.
Контрольная работа по теме: «Метод координат в пространстве» Вариант 1
1 . Если А (4;-2) , В(-8;0) – координаты концов отрезка АВ, то его середина имеет координаты….
2. Вектор а =-5i +12j. Длина вектора равна……
3 . Вектор а имеет координаты а{-3;3} .Его разложение по координатным векторам равно…
4. А ( -3;5), В( 3;-2). Координаты вектора АВ равны……
5. Даны точки А(0;1) и В ( 5;-3) . В – середина отрезка СA. Координаты точки С равны…
6. Найдите координаты и длину вектора n, если n= c – d, c{6; -2} d{1;-2}
7.Напишите уравнение окружности с центром в точке С ( 2; 1 ), проходящей через точку D ( 5; 5 ).
8. Треугольник СDЕ задан координатами своих вершин: С (2; 2), D (6; 5), Е (5; - 2).
а) Докажите, что ΔCDE- равнобедренный;
б ) Найдите биссектрису, проведённую из вершины С.
9 . Даны векторы а{3; -2}, b{-2; 3} c{-3; 2}. Найти длину ветора р и q, если р=2а+3с и q =2 b - 3с
Контрольная работа по теме: «Метод координат в пространстве» Вариант 2
1. Если А(5;0) , В(3;-6) – координаты концов отрезка АВ, то его середина имеет координаты….
2. Вектор а = 6 i –8 j. Длина вектора равна……
3 Вектор а имеет координаты а(-3;1) .Его разложение по координатным векторам равно…
4 А ( 2;7), В( -2;1). Координаты вектора АВ равны……
5. Даны точки А(0;3) и В ( 5;-3) . А – середина отрезка СВ. Координаты точки С равны…..
6 . Даны векторы а{3; -2}, b{-2; 1} c{ 2;1}. Найти р и q, если р = 2а+ 3с и q= 2 b - 3с;
7. Найдите координаты и длину вектора d, если d = m – n, m{-3, 6} n {2; -2}
8. Напишите уравнение окружности с центром в точке А (- 3;2), проходящей через точку В (0; - 2).
9. Треугольник МNK задан координатами своих вершин: М (- 6; 1), N (2; 4), К (2; - 2).
а) Докажите, что ΔMNK- равнобедренный;
б) Найдите высоту, проведённую из вершины М.
Вариант 2
1. Середина отрезка AB
Если A(x1, y1) и B(x2, y2) - координаты концов отрезка AB, то его середина M имеет координаты:
M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
В нашем случае A(5, 0) и B(3, -6).
M((5+3)/2, (0-6)/2) = M(8/2, -6/2) = M(4, -3)
Ответ: (4, -3)
2. Длина вектора a
Вектор a = 6i - 8j имеет координаты (6, -8).
Длина вектора |a| = √(x^2 + y^2), где x и y - координаты вектора.
|a| = √(6^2 + (-8)^2) = √(36 + 64) = √100 = 10
Ответ: 10
3. Разложение вектора a
Вектор a имеет координаты a(-3, 1).
Его разложение по координатным векторам i и j:
a = -3i + 1j = -3i + j
Ответ: a = -3i + j
4. Координаты вектора AB
Координаты вектора AB: (x2-x1, y2-y1), где A(x1, y1) и B(x2, y2).
A(2, 7) и B(-2, 1).
AB = (-2-2, 1-7) = (-4, -6)
Ответ: (-4, -6)
5. Координаты точки C
A - середина отрезка CB. A(0, 3) и B(5, -3).
Пусть C(x, y).
Тогда координаты A: ((x+5)/2, (y-3)/2) = (0, 3)
(x+5)/2 = 0 => x+5 = 0 => x = -5
(y-3)/2 = 3 => y-3 = 6 => y = 9
Точка C имеет координаты (-5, 9).
Ответ: (-5, 9)
6. Векторы p и q
a{3, -2}, b{-2, 1}, c{2, 1}
p = 2a + 3c = 2(3, -2) + 3(2, 1) = (6, -4) + (6, 3) = (12, -1)
q = 2b - 3c = 2(-2, 1) - 3(2, 1) = (-4, 2) - (6, 3) = (-10, -1)
Ответ: p(12, -1), q(-10, -1)
7. Координаты и длина вектора d
m{-3, 6}, n{2, -2}
d = m - n = (-3-2, 6-(-2)) = (-5, 8)
Длина вектора |d| = √((-5)^2 + 8^2) = √(25 + 64) = √89
Ответ: d(-5, 8), |d| = √89
8. Уравнение окружности
Центр A(-3, 2), точка B(0, -2).
Радиус R = AB = √((0-(-3))^2 + (-2-2)^2) = √(3^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5
Уравнение окружности: (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2, где (a, b) - центр, R - радиус.
(x+3)^2 + (y-2)^2 = 5^2
(x+3)^2 + (y-2)^2 = 25
Ответ: (x+3)^2 + (y-2)^2 = 25
9. Треугольник MNK
M(-6, 1), N(2, 4), K(2, -2).
a) Доказательство равнобедренности
MN = √((2-(-6))^2 + (4-1)^2) = √(8^2 + 3^2) = √(64 + 9) = √73
MK = √((2-(-6))^2 + (-2-1)^2) = √(8^2 + (-3)^2) = √(64 + 9) = √73
MN = MK = √73, следовательно, треугольник MNK равнобедренный.
б) Высота из вершины M
NK - основание равнобедренного треугольника.
Середина NK: ((2+2)/2, (4-2)/2) = (2, 1)
Заметим, что середина NK совпадает с точкой M(-6, 1). Значит, высота из M совпадает с отрезком MN. Длина высоты равна расстоянию между M(-6, 1) и серединой NK (2, 1).
Высота h = |yM - y(середины NK)| = |1-1| = 0.
Но это невозможно, так как точки N и K имеют одинаковую абсциссу x=2, значит NK параллельна оси Oy. Значит MN не является высотой.
Тогда найдем длину NK:
NK = √((2-2)^2 + (-2-4)^2) = √(0 + (-6)^2) = √36 = 6
Пусть h - высота из вершины M. Площадь треугольника:
S = (1/2) * NK * h
Найдем площадь по формуле Герона или через определитель.
Найдем площадь через определитель:
S = (1/2) * |(-6(4-(-2)) + 2(-2-1) + 2(1-4))| = (1/2) * |(-6*6 + 2(-3) + 2(-3))| = (1/2) * |-36 - 6 - 6| = (1/2) * |-48| = 24
24 = (1/2) * 6 * h
24 = 3h
h = 8
Ответ: высота = 8