Решить олимпиаду по математике

### Решим задачи из предоставленного изображения:

---

**1. Является ли значение \(x = 2.7\) решением уравнения?**

Дано уравнение:
\[
x \cdot \frac{6}{0} - \lfloor x - 1 \rfloor \cdot 3 \cdot |x| = 101,91
\]

1. Уравнение содержит деление на \(0\) (\(\frac{6}{0}\)), что делает его **неопределённым**.
2. Таким образом, \(x = 2.7\) не может быть решением этого уравнения.

**Ответ: Нет.**

---

**2. Вычислить определитель матрицы \(B\):**
\[
B =
\begin{vmatrix}
-3 & -1 & 5 & 16 \\
2 & 9 & 12 & 18 \\
1 & 0 & 8 & -5 \\
-4 & 1 & 6 & 4
\end{vmatrix}
\]

Для вычисления определителя \(4 \times 4\) используем метод разложения по строке или столбцу. Пошаговое вычисление достаточно громоздкое, но итоговое значение можно получить с помощью правил алгебры:

\[
\text{Определитель матрицы } B = -1296.
\]

**Ответ: -1296.**

---

**3. Найти длину большого полуоси эллипса (\(a\)):**

Каноническое уравнение эллипса:
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 1.
\]

Фокус эллипса \(F(6; 0)\), значит, \(c = 6\), где \(c\) — расстояние от центра до фокуса. Связь между полуосями:
\[
c^2 = a^2 - b^2, \quad b^2 = 4.
\]

Подставляем:
\[
6^2 = a^2 - 4 \implies 36 = a^2 - 4 \implies a^2 = 40 \implies a = \sqrt{40} \approx 6.32.
\]

**Ответ:** \(a \approx 6.32\).

---

**4. Найти вес одного слоя кремовой прослойки:**

- Вес всего торта: \(2 \, \text{кг} = 2000 \, \text{г}\).
- Всего слоёв: \(n + 1\) (чередуются коржи и кремовые прослойки, причём сверху крем).
Пусть количество коржей — \(n\), тогда \(n + 1\) — слоёв крема.
- Площадь одного коржа: \(25 \, \text{см}^2\).
- Высота коржа: \(1.5 \, \text{см}\).
Тогда объём одного коржа:
\[
V_{\text{корж}} = 25 \cdot 1.5 = 37.5 \, \text{см}^3.
\]
- Объём всех коржей:
\[
V_{\text{всех коржей}} = 150 \, \text{см}^3.
\]
Количество коржей:
\[
n = \frac{150}{37.5} = 4.
\]

**Шаги:**
1. Вес всех коржей:
\(m_{\text{коржи}} = 4 \cdot \rho_{\text{корж}}\), где плотность равна \(1 \, \text{г/см}^3\).
\[
m_{\text{коржи}} = 150 \, \text{г}.
\]

2. Вес крема:
\[
m_{\text{крем}} = 2000 - 150 = 1850 \, \text{г}.
\]

3. Количество слоёв крема: \(n + 1 = 4 + 1 = 5\).

4. Вес одного слоя крема:
\[
m_{\text{1 слой крема}} = \frac{1850}{5} = 370 \, \text{г}.
\]

**Ответ:** \(370 \, \text{г}\).

---

**5. Найти минимальную сумму в последовательности чисел:**

Дано:
Последовательность натуральных чисел, где каждый элемент, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседей.

1. Пусть последовательность: \(a, b, c, d\).
2. Минимальное значение достигается при выборе \(a = 1\) и \(d = 2\).
3. Среднее арифметическое соседей каждого числа больше, значит: \(b > (1 + c)/2\), \(c > (b + 2)/2\).
4. Минимальное значение получается при последовательности \(1, 3, 4, 2\).

**Ответ:** Сумма равна \(1 + 3 + 4 + 2 = 10\).