Ответы Mail
Образование
ВУЗы, Колледжи
Детские сады
Школы
Дополнительное образование
Образование за рубежом
Прочее образование
Лидеры категории
Лена-пена
М.И.
Y.Nine
•••
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Математика. Функции и параметры
Kirill Balabanov
(337),
на голосовании
3 дня назад
Имеется кубический многочлен Р(x). Известно, что Р(x) делися на Q1(x) = x^2 +(k+5)x—4k и на Q2(x)= 3x^2 + (3k— 5)x — 2k. При каком наибольшем значснии k такое возможно?
Голосование за лучший ответ
Nikolay✓
(501947)
1 месяц назад
Наибольшее значение k, при котором кубический многочлен P(x) делится на Q1(x) и Q2(x), = 10.
Kirill BalabanovЗнаток (337)
1 месяц назад
А как Вы получили 10?
Александр Шмуратко
Мыслитель
(9936)
Если кубический многочлен делится на два различных квадратных многочлена, то у этих многочленов есть общий корень. Пусть он равен "а". Подставьте его в оба уравнения, выразите из обоих уравнений k и приравняйте. Найдёте k.
Александр ШмураткоМыслитель (9936)
1 месяц назад
Вы бы хоть проверили свой ответ. Какой же кубический многочлен у Вас получился?
Артём Зубко
(281)
1 месяц назад
Для того чтобы кубический многочлен \( R(x) \) делился на два квадратных многочлена, \( Q_1(x) \) и \( Q_2(x) \), необходимо, чтобы у двух многочленов были общие корни. Грубо говоря, если \( R(x) \) делится на \( Q_1(x) \) и \( Q_2(x) \), то:
- Корни \( Q_1(x) \) должны быть также корнями \( R(x) \).
- Корни \( Q_2(x) \) должны быть также корнями \( R(x) \).
Таким образом, найдем корни \( Q_1(x) \) и \( Q_2(x) \) для анализа их условий делимости.
- **Найдем корни многочлена \( Q_1(x) \)**:
\[
Q_1(x) = x^2 + (k + 5)x - 4k
\]
Формула корней квадратного многочлена:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
где \( a = 1, b = k + 5, c = -4k \), следовательно:
\[
D_1 = (k + 5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4k) = (k + 5)^2 + 16k
\]
- **Найдем корни многочлена \( Q_2(x) \)**:
\[
Q_2(x) = 3x^2 + (3k - 5)x - 2k
\]
Аналогично, мы применяем формулу для корней:
\[
D_2 = (3k - 5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2k) = (3k - 5)^2 + 24k
\]
Теперь определим условия на \( D_1 \) и \( D_2 \) для того, чтобы оба дисриминанты были неотрицательны.
**Для \( D_1 \geq 0 \)**:
\[
(k + 5)^2 + 16k \geq 0
\]
Полное квадратное уравнение:
\[
k^2 + 10k + 25 + 16k \geq 0 \implies k^2 + 26k + 25 \geq 0
\]
Решим это уравнение:
\[
D = 26^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576
\]
\[
k = \frac{-26 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{-26 \pm 24}{2}
\]
Найдем корни:
\[
k_1 = \frac{-2}{2} = -1, \quad k_2 = \frac{-50}{2} = -25
\]
Знак параболы (поскольку \( a > 0 \)) указывает, что \( k^2 + 26k + 25 \) положительно вне промежутка \((-25, -1)\).
**Для \( D_2 \geq 0 \)**:
\[
(3k - 5)^2 + 24k \geq 0
\]
Подобным образом рассматриваем:
\[
D = (3k - 5)^2 + 24k \geq 0
\]
Решаем:
\[
(3k - 5)^2 = 9k^2 - 30k + 25
\]
\[
\text{Таким образом: } 9k^2 - 6k + 25 \geq 0
\]
Этот многочлен также всегда положителен, так как:
Дискриминант:
\[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 \]
Таким образом, обе условия выполняются. Проверим, что \( k \geq -1 \).
Следовательно, наивысшее значение \( k \) при условии, что оба многочлена имеют действительные корни, и при делимости выражается в условиях наибольшего значения \( k = -1 \). Сравнивая корни \( k = -1, k = -25 \), отмечаем наибольшее значение, что \( k = -1 \) подходит под условия.
Ответ: **Наибольшее значение k**: **-1.**
- Корни \( Q_1(x) \) должны быть также корнями \( R(x) \).
- Корни \( Q_2(x) \) должны быть также корнями \( R(x) \).
Таким образом, найдем корни \( Q_1(x) \) и \( Q_2(x) \) для анализа их условий делимости.
- **Найдем корни многочлена \( Q_1(x) \)**:
\[
Q_1(x) = x^2 + (k + 5)x - 4k
\]
Формула корней квадратного многочлена:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
где \( a = 1, b = k + 5, c = -4k \), следовательно:
\[
D_1 = (k + 5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4k) = (k + 5)^2 + 16k
\]
- **Найдем корни многочлена \( Q_2(x) \)**:
\[
Q_2(x) = 3x^2 + (3k - 5)x - 2k
\]
Аналогично, мы применяем формулу для корней:
\[
D_2 = (3k - 5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2k) = (3k - 5)^2 + 24k
\]
Теперь определим условия на \( D_1 \) и \( D_2 \) для того, чтобы оба дисриминанты были неотрицательны.
**Для \( D_1 \geq 0 \)**:
\[
(k + 5)^2 + 16k \geq 0
\]
Полное квадратное уравнение:
\[
k^2 + 10k + 25 + 16k \geq 0 \implies k^2 + 26k + 25 \geq 0
\]
Решим это уравнение:
\[
D = 26^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576
\]
\[
k = \frac{-26 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{-26 \pm 24}{2}
\]
Найдем корни:
\[
k_1 = \frac{-2}{2} = -1, \quad k_2 = \frac{-50}{2} = -25
\]
Знак параболы (поскольку \( a > 0 \)) указывает, что \( k^2 + 26k + 25 \) положительно вне промежутка \((-25, -1)\).
**Для \( D_2 \geq 0 \)**:
\[
(3k - 5)^2 + 24k \geq 0
\]
Подобным образом рассматриваем:
\[
D = (3k - 5)^2 + 24k \geq 0
\]
Решаем:
\[
(3k - 5)^2 = 9k^2 - 30k + 25
\]
\[
\text{Таким образом: } 9k^2 - 6k + 25 \geq 0
\]
Этот многочлен также всегда положителен, так как:
Дискриминант:
\[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 \]
Таким образом, обе условия выполняются. Проверим, что \( k \geq -1 \).
Следовательно, наивысшее значение \( k \) при условии, что оба многочлена имеют действительные корни, и при делимости выражается в условиях наибольшего значения \( k = -1 \). Сравнивая корни \( k = -1, k = -25 \), отмечаем наибольшее значение, что \( k = -1 \) подходит под условия.
Ответ: **Наибольшее значение k**: **-1.**
Похожие вопросы