Математика. Функции и параметры

Для того чтобы кубический многочлен \( R(x) \) делился на два квадратных многочлена, \( Q_1(x) \) и \( Q_2(x) \), необходимо, чтобы у двух многочленов были общие корни. Грубо говоря, если \( R(x) \) делится на \( Q_1(x) \) и \( Q_2(x) \), то:

- Корни \( Q_1(x) \) должны быть также корнями \( R(x) \).

- Корни \( Q_2(x) \) должны быть также корнями \( R(x) \).

Таким образом, найдем корни \( Q_1(x) \) и \( Q_2(x) \) для анализа их условий делимости.
- **Найдем корни многочлена \( Q_1(x) \)**:

\[
Q_1(x) = x^2 + (k + 5)x - 4k

\]

Формула корней квадратного многочлена:

\[

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

\]

где \( a = 1, b = k + 5, c = -4k \), следовательно:

\[

D_1 = (k + 5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4k) = (k + 5)^2 + 16k

\]

- **Найдем корни многочлена \( Q_2(x) \)**:

\[
Q_2(x) = 3x^2 + (3k - 5)x - 2k

\]

Аналогично, мы применяем формулу для корней:

\[

D_2 = (3k - 5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2k) = (3k - 5)^2 + 24k

\]

Теперь определим условия на \( D_1 \) и \( D_2 \) для того, чтобы оба дисриминанты были неотрицательны.

**Для \( D_1 \geq 0 \)**:

\[

(k + 5)^2 + 16k \geq 0

\]

Полное квадратное уравнение:

\[

k^2 + 10k + 25 + 16k \geq 0 \implies k^2 + 26k + 25 \geq 0

\]

Решим это уравнение:

\[

D = 26^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576

\]

\[

k = \frac{-26 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{-26 \pm 24}{2}

\]

Найдем корни:

\[

k_1 = \frac{-2}{2} = -1, \quad k_2 = \frac{-50}{2} = -25

\]

Знак параболы (поскольку \( a > 0 \)) указывает, что \( k^2 + 26k + 25 \) положительно вне промежутка \((-25, -1)\).

**Для \( D_2 \geq 0 \)**:

\[

(3k - 5)^2 + 24k \geq 0

\]

Подобным образом рассматриваем:

\[

D = (3k - 5)^2 + 24k \geq 0

\]

Решаем:

\[

(3k - 5)^2 = 9k^2 - 30k + 25

\]

\[

\text{Таким образом: } 9k^2 - 6k + 25 \geq 0

\]



Этот многочлен также всегда положителен, так как:

Дискриминант:

\[

D = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 \]

Таким образом, обе условия выполняются. Проверим, что \( k \geq -1 \).

Следовательно, наивысшее значение \( k \) при условии, что оба многочлена имеют действительные корни, и при делимости выражается в условиях наибольшего значения \( k = -1 \). Сравнивая корни \( k = -1, k = -25 \), отмечаем наибольшее значение, что \( k = -1 \) подходит под условия.

Ответ: **Наибольшее значение k**: **-1.**