Я уже голову сломала, не знаю как решить, помогите пожалуйста, очень надо!!

Задача. Для каждого натурального числа от n+1 до 2n включительно выберем наибольший нечётный делитель и сложим все эти делители. Чему будет равна полученная сумма?

Решение. Обозначим наибольший нечётный делитель натурального числа N через d(N), а сумму из условия — через Sn. Докажем индукцией по параметру n, что Sn будет равна
2n
2n(n+1)
n(n+1)/2+3
n2 (нужно выбрать)
Для n=1 сумма наибольших нечётных делителей равна
?(какое то число).
Указанная выше формула тоже равна этому значению, поэтому база индукции для n=1 верна.
Докажем переход индукции. Пусть n>1. Докажем, что если утверждение верно для n=k, то оно верно и для n=k+1. Рассмотрим разность Sk+1−Sk. Получим выражение
d(2k+1)−d(k)−d(k+1)
d(2k+1)+d(2k+2)−d(k+1)
d(2k+1)+d(2k+2)−d(k)
d(2k+1)−d(k+1) (нужно выбрать)
Поскольку при умножении на 2 величина на и большего нечётного делителя не меняется, то
d(k)=d(2k+2)
d(k)=d(2k+1)
d(k+1)=d(2k+1)
d(k+1)=d(2k+2) (нужно выбрать)
. Число 2k+1 нечётное, поэтому d(2k+1)=2k+1.
Таким образом,Sk+1−Sk=
2
4(k+1)
k+1
2k+1 (нужно выбрать)
.Воспользовавшись предположением индукции, получим Sk+1=
2k+2=2(k+2)
2k(k+1)+4(k+1)=2(k+1)(k+2)
k(k+1)/2+3+(k+1)=(k+1)(k+2)/2+3
k2+(2k+1)=(k+1)2
Таким образом, утверждение для n=k+1
доказано, то есть переход доказан.
0