В равнобедренном треуг-ке АСВ уг.С= 20о, СА= СВ. На стороне СА выбрана точка Е так, что СЕ= АВ. Определить уг.АЕВ

Ответ: 60

Построим точку F на AB такую, что CF = CE = AB. Тогда треугольник CFE равнобедренный, и $\angle CFE = \angle CEF$. Так как CF = AB и CA = CB, то треугольник CBF равнобедренный, и $\angle CFB = \angle CBF = 80^\circ$. Тогда $\angle BCF = 180^\circ - 80^\circ - 80^\circ = 20^\circ$. Так как $\angle ACB = 20^\circ$, то точки A, F и E лежат на одной прямой. Значит, $\angle CFE = 180^\circ - \angle CFB = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.
Тогда $\angle FCE = 180^\circ - 100^\circ - 100^\circ$ (сумма углов треугольника CFE), что невозможно.

Построим точку G на BC такую, что CG = CE = AB. Тогда треугольник CGE равнобедренный, и $\angle CGE = \angle CEG$. Так как CG = AB и CA = CB, то треугольники ABC и GCE равны по двум сторонам и углу между ними ($\angle ACB = \angle GCE$). Тогда $\angle CEG = \angle CGE = 80^\circ$.
Тогда $\angle ECG = 180^\circ - 80^\circ - 80^\circ = 20^\circ = \angle ACB$. Это значит, что G совпадает с B. Но это невозможно, так как CE < CA.

Рассмотрим точку К на АВ такую, что АК=СЕ=АВ. Треугольник АСК равен АСВ по трем сторонам, тогда <CAK=<ACK=(180-20)/2=80, <СКА=20. Треугольник АКС равнобедренный, тогда АК=КС. Но АК=АВ, тогда АВ=КС. Из равенства АВ=СЕ=АК=КС следует, что КС=СЕ, тогда треугольник КСЕ равнобедренный и <СЕК=<СКЕ=(180-80)/2=50. <АЕК=180-50=130. Это невозможно.

Построим точку D на BC такую, что CD = CE = AB.
Тогда $\angle CED = \angle CDE$.
Треугольник ABC равен треугольнику DCB (AB=CD, BC - общая, угол C общий), тогда AD=BD.
Угол BCD = 20, следовательно углы CBD = CDB = 80.
Следовательно D совпадает с B.
Тогда AB = CB = CE, треугольник CBE равнобедренный с углом C = 20.
Тогда углы CEB=CBE = (180-20)/2=80.
$\angle AEB = 180 - 80 = 100^\circ$.
Но в этом случае СЕ не может равняться АВ, так как СЕ меньше СА.

Попробуем 30 градусов.
Пусть $\angle AEB = 30^\circ$.
Тогда $\angle CBE = 180^\circ - 80^\circ - 30^\circ = 70^\circ$.
По теореме синусов:
$\frac{CE}{\sin 70^\circ} = \frac{BC}{\sin 30^\circ}$,
$\frac{AB}{\sin 20^\circ} = \frac{BC}{\sin 80^\circ}$,
$CE = AB \Rightarrow \frac{\sin 70^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sin 80^\circ}{\sin 20^\circ}$, что неверно.

Проверим угол 70 градусов:
Пусть $\angle AEB = 70^\circ$. Тогда $\angle CBE = 180^\circ - 80^\circ - 70^\circ = 30^\circ$.
$\frac{CE}{\sin 30^\circ} = \frac{BC}{\sin 70^\circ}$
$\frac{AB}{\sin 20^\circ} = \frac{BC}{\sin 80^\circ}$
$CE=AB \Rightarrow \frac{\sin 30^\circ}{\sin 70^\circ} = \frac{\sin 20^\circ}{\sin 80^\circ}$. Это неверно.

Похоже, что $\angle AEB = 70^\circ$.
Пусть $\angle AEB = 70^\circ$. Тогда $\angle CBE = 30^\circ$.
$\frac{CE}{\sin 30^\circ} = \frac{BE}{\sin 20^\circ}$, $CE = AB$.
$\frac{AB}{\sin 20^\circ} = \frac{AC}{\sin 80^\circ}$
Тогда $\frac{BE}{\sin 20^\circ} = \frac{AC \sin 30^\circ}{\sin 80^\circ \sin 20^\circ}$.

Рассмотрим треугольник ABE.
$\frac{AB}{\sin 70^\circ} = \frac{AE}{\sin 80^\circ} = \frac{BE}{\sin 30^\circ}$.
$CE=AB$
$\frac{CE}{\sin 30^\circ} = \frac{BE}{\sin 20^\circ}$, $CE = \frac{BE \sin 30^\circ}{\sin 20^\circ}$
$AB = \frac{BE \sin 70^\circ}{\sin 30^\circ}$
Тогда $\frac{\sin 30^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\sin 70^\circ}{\sin 30^\circ}$, что неверно.

Правильный ответ: $\angle AEB = 30^\circ$.

Трижды применить теорему косинусов, приняв АС=ВС=1, определить АВ=СЕ, АЕ=АС-СЕ, ВЕ, а затем и угол АЕВ

Хоть бы кто-нибудь рисунок нарисовал...

Вводим систему координат, чтобы рисовать рисунок на экране (никаких дрожащих рук, тупых карандашей и кривых линеек).

В начало координат поставим точку С, ось Х направим вдоль СА, единичный отрезок выберем равным СА.

Координаты точки В находятся просто, расстояние АВ с самого начала просто находилось, так что и координаты точки Е находятся просто.. да тут всё просто, разве что я не люблю теорему косинусов, поэтому угол АЕВ считаю через арктангенс отношения BD к DE (координаты точки D - основание перпендикуляра из точки В на ось Х - совсем просто).

Да, 30 градусов. Может это можно было найти каким-то дополнительным построением, но задача уж совсем просто решается для любого значения угла С, и 20 градусов - просто частный случай общей задачи.
.