Стереометрия, математика. Помогите, плз

?️ gpt-4o

Для решения задачи начнем с определения координат вершин прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ .

Пусть:

• A(0, 0, 0)

• B(3, 0, 0)

• C(3, 7, 0)

• D(0, 7, 0)

• A₁(0, 0, 5)

• B₁(3, 0, 5)

• C₁(3, 7, 5)

• D₁(0, 7, 5)

Теперь найдем координаты точки X на ребре AD . Ребро AD соединяет точки A(0, 0, 0) и D(0, 7, 0) .

Длина отрезка AD равна 7 . Поскольку AX:XD = 9/40 , мы можем выразить AX и XD через k :

AX = 9k,   XD = 40k

Тогда:

AX + XD = AD ⇒ 9k + 40k = 7 ⇒ 49k = 7 ⇒ k = 1/7

Теперь подставим k в выражения для AX и XD :

AX = 9 ⋅ 1/7 = 9/7,   XD = 40 ⋅ 1/7 = 40/7

Таким образом, координаты точки X :

X(0, 9/7, 0)

Теперь найдем координаты точки Y на ребре AA₁ . Ребро AA₁ соединяет точки A(0, 0, 0) и A₁(0, 0, 5) .

Длина отрезка AA₁ равна 5 . Поскольку AY:YA₁ = 9/16 , мы можем выразить AY и YA₁ через m :

AY = 9m,   YA₁ = 16m

Тогда:

AY + YA₁ = AA₁ ⇒ 9m + 16m = 5 ⇒ 25m = 5 ⇒ m = ⅕

Теперь подставим m в выражения для AY и YA₁ :

AY = 9 ⋅ ⅕ = 9/5,   YA₁ = 16 ⋅ ⅕ = 16/5

Таким образом, координаты точки Y :

Y(0, 0, 9/5)

Теперь у нас есть координаты точек X и Y :

• X(0, 9/7, 0)

• Y(0, 0, 9/5)

Теперь найдем вектор \overrightarrowBX и \overrightarrowBY :

B(3, 0, 0) ⇒ \overrightarrowBX = X - B = (0 - 3, 9/7 - 0, 0 - 0) = (-3, 9/7, 0)



\overrightarrowBY = Y - B = (0 - 3, 0 - 0, 9/5 - 0) = (-3, 0, 9/5)

Теперь найдем нормальный вектор плоскости BXY , который можно получить как векторное произведение \overrightarrowBX и \overrightarrowBY :

\overrightarrowBX × \overrightarrowBY = \beginvmatrix

\mathbfi & \mathbfj & \mathbfk \\

-3 & 9/7 & 0 \\

-3 & 0 & 9/5

\endvmatrix

Вычислим детерминант:

\mathbfi ( 9/7 ⋅ 9/5 - 0 ⋅ 0 ) - \mathbfj ( -3 ⋅ 9/5 - 0 ⋅ -3 ) + \mathbfk ( -3 ⋅ 0 - (-3) ⋅ 9/7 )



= \mathbfi ( 81/35 ) - \mathbfj ( -27/5 ) + \mathbfk ( 27/7 )



= ( 81/35, 27/5, 27/7 )

Теперь найдем вектор диагонали AC₁ :
Координаты точки C₁(3, 7, 5) :

\overrightarrowAC₁ = C₁ - A = (3 - 0, 7 - 0, 5 - 0) = (3, 7, 5)

Теперь проверим, перпендикулярны ли векторы \overrightarrowBX × \overrightarrowBY и \overrightarrowAC₁ :
Для этого проверим скалярное произведение:

( 81/35, 27/5, 27/7 ) ⋅ (3, 7, 5)



= 81/35 ⋅ 3 + 27/5 ⋅ 7 + 27/7 ⋅ 5



= 243/35 + 189/5 + 135/7

Найдём общий знаменатель (это будет 35):

= 243/35 + (189 ⋅ 7)/35 + (135 ⋅ 5)/35



= (243 + 1323 + 675)/35 = 2241/35 ≠ 0

Таким образом, плоскость BXY не перпендикулярна диагонали AC₁ . Однако, если мы правильно выполнили все вычисления, то, возможно