Гладкое многообразие в дифференциальной геометрии

Многообразие - пространство, которое локально (в каждой точке с некоторой ее окрестностью) является линейным. Обычно добавляют, что оно локально евклидово, но, в общем-то, не обязательно евклидово. Если оно еще и гладкое, то в окрестности каждой его точки можно ввести касательное пространство и задать диффеоморфизм в другое гладкое многообразие.

Что? Давай я тебе неформально и не совсем корректно объясню, что это.

Многообразие - это кривая, поверхность и так далее, размерность можно повышать, но обычно они конечномерны.
Насчет гладкости. Будем для простоты считать, что у нас многообразие "хорошим образом" вложено в евклидово пространство какой-то размерности (вложить всегда можно - теорема есть).

У гладкой кривой есть касательная прямая в каждой точке. У гладкой поверхности - касательная плоскость. У гладкого трехмерного многообразия, вложенного в какое-то многомерное евклидово пространство - касательное трехмерное многообразие в каждой точке. Ну и так далее.