Геометрия 9 класс

Доказательство проведем методом от противного. Пусть a, b, c — стороны треугольника, причем a ≤ b ≤ c. Предположим, что расстояние от точки I (точка пересечения биссектрис, или инцентр) до одной из вершин, например, до вершины A, больше или равно длине средней стороны b. То есть, IA ≥ b.

Рассмотрим треугольник AIB. По свойству биссектрисы, AI/IB = AB/BC = c/a. Так как a ≤ c, то AI/IB = c/a ≥ 1, то есть AI ≥ IB.

Также рассмотрим треугольник AIC. Аналогично, AI/IC = AB/AC = c/b. Так как b ≤ c, то AI/IC = c/b ≥ 1, то есть AI ≥ IC.

Теперь воспользуемся неравенством треугольника в треугольнике AIB:

AI + IB > AB = c

Поскольку IA ≥ b и IA ≥ IB, можно записать:

IA + IA > c 2IA > c

Аналогично, в треугольнике AIC:

AI + IC > AC = b

И, так как IA ≥ b и IA ≥ IC:

IA + IA > b 2IA > b

Теперь объединим неравенства:

2IA > c и 2IA > b

Из предположения IA ≥ b следует, что 2IA ≥ 2b. Поэтому:

2b > c это противоречит условию b ≤ c, если только b=c, но треугольник не равнобедренный.

Следовательно, наше предположение IA ≥ b неверно. Аналогично можно доказать, что IB < b и IC < b.

Таким образом, расстояние от точки I до любой из вершин треугольника меньше длины средней по величине стороны треугольника. Это завершает доказательство.