Помогите пожалуйста геометрией

Задание 1.

Даны векторы a = (-2; 4) и b = (x; 1).

Параллельность: Два вектора параллельны, если один из них является кратным другому. Это означает, что существует число k такое, что a = kb. В нашем случае:
-2 = kx 4 = k

Из второго уравнения k = 4. Подставим в первое уравнение:

-2 = 4x x = -1/2

Ответ 1: При x = -1/2 прямые, содержащие данные векторы, параллельны.

Перпендикулярность: Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:
a • b = (-2)(x) + (4)(1) = 0 -2x + 4 = 0 2x = 4 x = 2

Ответ 2: При x = 2 прямые, содержащие данные векторы, перпендикулярны.

Тупой угол: Два вектора образуют тупой угол, если их скалярное произведение отрицательно:
a • b = -2x + 4 < 0 -2x < -4 x > 2

Ответ 3: Данные векторы образуют тупой угол при x > 2.

Задание 2.

Задан вектор v = (-2; 3) и точка A(3; -5).

Параллельная прямая: Уравнение прямой, проходящей через точку A(x₀; y₀) и параллельной вектору v = (a; b), имеет вид:
(x - x₀)/a = (y - y₀)/b

Подставляем значения:

(x - 3)/(-2) = (y + 5)/3

Ответ 2.1: Уравнение прямой: (x - 3)/(-2) = (y + 5)/3

Вектор нормали: Уравнение прямой, проходящей через точку A(x₀; y₀) и имеющей нормальный вектор n = (A; B), имеет вид:
A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0

Вектор нормали перпендикулярен вектору (-2; 3). Можно взять нормальный вектор как (3; 2). Подставляем:

3(x - 3) + 2(y + 5) = 0

Ответ 2.2: Уравнение прямой: 3(x - 3) + 2(y + 5) = 0 или 3x + 2y - 9 + 10 = 0 или 3x + 2y + 1 = 0

Задание 3.

Векторы m = (-4; 3) и p = (2; -1). Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

km • p = 0

k(-4)(2) + k(3)(-1) = 0 -8k - 3k = 0 -11k = 0 k = 0

Ответ 3: k = 0

Задание 4.

K(0; 1), L(-2; 4), M(4; 8), N(6; 5)

Прямоугольник: Чтобы доказать, что четырёхугольник — прямоугольник, нужно показать, что его стороны попарно перпендикулярны. Найдём векторы, определяющие стороны:
KL = (-2; 3)
LM = (6; 4)
MN = (2; -3)
NK = (-6; -4)
Скалярные произведения:

KL • LM = (-2)(6) + (3)(4) = -12 + 12 = 0
LM • MN = (6)(2) + (4)(-3) = 12 - 12 = 0
MN • NK = (2)(-6) + (-3)(-4) = -12 + 12 = 0
NK • KL = (-6)(-2) + (-4)(3) = 12 - 12 = 0
Так как все скалярные произведения равны нулю, стороны попарно перпендикулярны. Следовательно, четырёхугольник KLMN — прямоугольник.

Косинус угла между диагоналями:
Найдём векторы диагоналей:

KM = (4; 7)
LN = (8; 1)
Косинус угла между векторами u и v вычисляется как:

cos θ = (u • v) / (||u|| ||v||)

cos θ = ((4)(8) + (7)(1)) / (√(4² + 7²) √(8² + 1²)) cos θ = (39) / (√65 √65) = 39/65 = 3/5

Ответ 4.2: cos θ = 3/5

Площадь прямоугольника:
Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон:

Площадь = ||KL|| * ||LM|| = √((-2)² + 3²) * √(6² + 4²) = √13 * √52 = √(13 * 52) = √676 = 26

Ответ 4.3: Площадь = 26