Математический анализ. А как ДЕЛИТЬ ряд Тейлора на ряд Тейлора?

Стать Тайлер Дернулом и разложить его убийственным взглядом сигмо

Деление ряда Тейлора на ряд Тейлора сводится к делению многочленов, представленных частичными суммами этих рядов, с последующим рассмотрением предела полученных коэффициентов при стремлении степени многочленов к бесконечности, однако строгое обоснование корректности такого деления требует анализа областей сходимости исходных рядов и результирующего ряда.

На примере: Пусть следует разделить 1+2x+4x²+8x³+16x⁴... на 1+3x²+5x⁴+...
Представим, что
(1+2x+4x²+8x³+16x⁴...)/(1+3x²+5x⁴+...) = a+bx+cx²+dx³+ex⁴+...
Тогда
1+2x+4x²+8x³+16x⁴...=(a+bx+cx²+dx³+ex⁴+...)*(1+3x²+5x⁴+...)
Раскрываем скобки и группируем слагаемые
1+2x+4x²+8x³+16x⁴...= a+bx+(c+3a)x²+(d+3b)x³+(e+3c+5a)x⁴+...=
Приравниваем коэффициенты при равных степенях аргумента и решаем систему уравнений:
a=1
b=2
c+3a=4
d+3b=8
e+3c+5a=16 и т.д.
Значит, наше частное будет иметь вид: 1+2x+x²+2x³+8x⁴+...