Подпространство в линейной алгебре

1. Множество последовательностей, имеющих предел :

Для проверки, является ли множество подпространством, оно должно удовлетворять трём условиям:

1. Нулевой элемент принадлежит множеству.


2. Замкнутость относительно сложения.


3. Замкнутость относительно умножения на скаляр.



Нулевой элемент: Последовательность из нулей имеет предел . Поэтому условие выполняется.

Сложение: Если две последовательности и имеют пределы и , то сумма этих последовательностей имеет предел . Значит, результат может не принадлежать множеству, если . Не подпространство.



---

2. Множество многочленов чётной степени с коэффициентами из поля :

Нулевой элемент: Нулевой многочлен является многочленом чётной степени (его степень можно считать ), поэтому он принадлежит множеству. Условие выполняется.

Сложение: Сумма двух многочленов чётной степени — тоже многочлен чётной степени. Условие выполняется.

Умножение на скаляр: Умножение многочлена на скаляр из не меняет чётность его степени. Условие выполняется.


Итог: Множество многочленов чётной степени с коэффициентами из поля является подпространством.