Олимпиада, 9 класс. Прошу помочь.

Для того чтобы прямая y = 2x - 5 была касательной к параболе y = (x - a)² + 4, следует решить систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения параболы, и затем применить условие касания.

Система уравнений:

y = 2x - 5
y = (x - a)² + 4
Приравняем правые части:

2x - 5 = (x - a)² + 4

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению:

2x - 5 = x² - 2ax + a² + 4 x² - 2(a+1)x + (a² + 9) = 0

Условие касания означает, что дискриминант (D) квадратного уравнения должен быть равен нулю:

D = b² - 4ac = 0

В нашем уравнении: a = 1, b = -2(a + 1), c = (a² + 9)

Подставим и решим уравнение:

[-2(a + 1)]² - 4 * 1 * (a² + 9) = 0 4(a² + 2a + 1) - 4a² - 36 = 0 4a² + 8a + 4 - 4a² - 36 = 0 8a - 32 = 0 8a = 32 a = 4

Ответ: Прямая y = 2x - 5 является касательной к параболе y = (x - a)² + 4 при a = 4.