Вероятность и статистика
1. На тарелке лежат несколько пирожков: 5 с вишней, 4 с яблоком, 6 с грушей и 2 с мясом. Борис берёт наугад один. Найдите вероятность того, что это окажется пирожок с яблоком или с грушей.
№2. Гедеону нужно уехать в район КЗТЗ. Известно, что на линии есть 20 машин, из которых 17 – в районе Центра, остальные едут на КЗТЗ. Какова вероятность того, что Гедеону достанется нужная машина?
№3. В цилиндре лежат зелёные, жёлтые, розовые и фиолетовые шары: всех цветов поровну. Найдите вероятность того, что один случайно взятый шар не окажется зелёным.№4. Имеется 200 лотерейных билетов. 5 из них – с денежным призом в 100 рублей, 15 – с денежным призом в 50 рублей. Какова вероятность того, что Алевтина выиграет денежный приз, если имеет на руках один билет? №5. Вероятность того, что смартфон из новой партии окажется бракованным, равна 0,015. Изяслав купил смартфон из новой партии.
Найдите вероятность того, что он купил рабочее устройство.
№6. 5000 спортсменов, участвующих в соревнованиях, проверяют на наличие допинга. Известно, что в 45 случаях подтвердилось его наличие. Найдите вероятность того, что у одного случайно выбранного спортсмена допинг НЕ обнаружился.
№7. Филипп, Прокоп, Ефросинья, Аксинья, Матрёна и Яромир решили сразиться в соревнованиях по челночному бегу. Состоялось три забега: в первом победу одержал Яромир, во втором – девочка, в третьем – НЕ Аксинья. Найдите вероятность возникновения такой цепочки событий. №8. Из колоды в 36 карт вытаскиваются друг за другом две карты (в колоду обратно они не кладутся). Найдите вероятность того, что обе карты одной масти и содержат буквенный номинал.№9. До конца соревнований по футболу осталось 2 матча. Для прохода в плэй-офф команде необходимо набрать более 3 очков. Найдите вероятность прохода команды, если за победу дают 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0, а вероятность победы и поражения одинакова и равна 0,4.
№10. Проводятся соревнования по биатлону. Спортсмен прибывает на огневой рубеж и пытается закрыть пять мишеней, его точность стрельбы – 90%. Найдите вероятность того, что он промахнётся во втором, третьем и пятом выстрелах.
№11. На танцевальном конкурсе выступают: 6 пар из России, 4 пары — из Италии, 3 пары — из Китая, 2 пары — из Японии и 5 пар — из Канады.
Найдите вероятность того, что первой будет выступать пара из Европы
n=5 + 4 + 6 + 2 = 17
n(a)=4 + 6 = 10
P = 10 / 17
▎Задача 2
Из 20 машин:
P = 3 / 20
▎Задача 3
Пусть в цилиндре лежат шары следующих цветов: зелёные, жёлтые, розовые и фиолетовые. Пусть их количество одинаково, например, по n штук каждого цвета.
Общее количество шаров:
4n
Количество не зелёных шаров:
3n
Вероятность того, что один случайно взятый шар не окажется зелёным:
P = 3n / 4n = 3 / 4
▎Задача 4
Имеется 200 лотерейных билетов:
n(a) 5 + 15 = 20
P = 20 / 200 = 1 / 10
▎Задача 5
P(брак) = 0.015
P(рабочий) = 1 - P(брак) = 1 - 0.015 = 0.985
▎Задача 6
Из 5000 спортсменов у 45 обнаружен допинг.
P(без допинга) = 1 - P(с допингом) = 1 - 45 / 5000 = 4955 / 5000
▎Задача 7
События:
1. Победил Яромир (1 способ)
2. Победила девочка (из 5 девочек: Прокоп, Ефросинья, Аксинья, Матрёна — 4 способа)
3. Не Аксинья (из 5 участников: Яромир и 3 девочки, кроме Аксиньи — 4 способа)
Общее количество возможных исходов:
1 × 4 × 4 = 16
Если не учитывать порядок, общее количество возможных исходов для трёх забегов:
6 × 6 × 6 = 216
Вероятность данной цепочки событий:
P = 16 / 216 = 2 / 27
▎Задача 8
В колоде из 36 карт:
• Буквенные номиналы: валет, дама, король (по 4 масти) — всего 3 × 4 = 12 карт.
Вероятность того, что обе карты одной масти и содержат буквенный номинал:
1. Вероятность первой карты: 12/36 = ⅓
2. Вероятность второй карты: 11/35 (так как одна карта уже вытянута)
Общая вероятность:
P = 12 / 36 ⋅ 11 / 35 = 1 / 3 ⋅ 11 / 35 = 11 / 105
▎Задача 9
1. Победа-победа: 0.4 × 0.4 = 0.16
2. Победа-ничья: 0.4 × 0.2 = 0.08
3. Ничья-победа: 0.2 × 0.4 = 0.08
Общая вероятность прохода команды:
P = 0.16 + 0.08 + 0.08 = 0.32
▎Задача 10
Вероятность попадания в мишень составляет 90% или 0.9. Следовательно, вероятность промаха равна 10% или 0.1.
P = (0.9)² ⋅ (0.1) ⋅ (0.9)² ⋅ (0.9) ⋅ (0.1)= (0.9)³ ⋅ (0.1)³
= (0.729) ⋅ (0.001)
= 0.000729
▎Задача 11
Общее количество пар:
n=6 + 4 + 3 + 2 + 5 = 20.
Количество пар из Европы (Россия и Италия):
n(a) 6 + 4 = 10.
Вероятность того, что первой будет выступать пара из Европы:
P = 10 / 20 = 1 / 2
1. 10/17
2. 3/20
3. 3/4
4. 1/20
5. 0,985
6. 4505/5000
7. 3/10
8. 1/64
9. 0,44
10. 0,009
11. 13/20
Задача 1
Общее количество пирожков:
5 (вишня) + 4 (яблоко) + 6 (груша) + 2 (мясо) = 17 пирожков
Количество пирожков с яблоком или с грушей:
4 (яблоко) + 6 (груша) = 10 пирожков
Вероятность:
\[ P(яблоко \text{ или } груша) = \frac{10}{17} \]
Задача 2
Количество машин на линии: 20
Количество машин, едущих на КЗТЗ: 20 - 17 = 3
Вероятность:
\[ P(КЗТЗ) = \frac{3}{20} \]
Задача 3
Пусть общее количество шаров равно \(N\) (всех цветов поровну):
Пусть их по \(n\) штук каждого цвета (зеленый, желтый, розовый, фиолетовый).
Общее число: \(4n\)
Количество шаров не зеленого цвета:
\(3n\)
Вероятность того, что шар не зелёный:
\[ P(не \text{ зелёный}) = \frac{3n}{4n} = \frac{3}{4} \]
Задача 4
Общее количество лотерейных билетов: 200
Количество выигрышных билетов: 5 + 15 = 20
Вероятность:
\[ P(выигрыш) = \frac{20}{200} = \frac{1}{10} \]
Задача 5
Вероятность того, что смартфон бракованный: \(P(брак) = 0.015\)
Вероятность того, что он рабочий:
\[ P(рабочий) = 1 - P(брак) = 1 - 0.015 = 0.985 \]
Задача 6
Количество спотриков: 5000
Количество случаев с допингом: 45
Количество спортсменов, у которых допинг не обнаружился:
\[ 5000 - 45 = 4955 \]
Вероятность, что у случайно выбранного спортсмена допинг не обнаружился:
\[ P(не \text{ допинг}) = \frac{4955}{5000} \]
Задача 7
Вероятность победы Яромира: \( P(Я) = \frac{1}{6} \)
Вероятность, что выиграет девочка (из 3 девочек): \( P(девочка) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
Вероятность, что победит не Аксинья: \( P(не \text{ Аксинья}) = \frac{5}{6} \)
Общая вероятность цепочки событий:
\[ P(Я, девочка, не \text{ Аксинья}) = P(Я) \cdot P(девочка) \cdot P(не \text{ Аксинья}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{72} \]
Задача 8
В колоде 36 карт, 9 карт каждой масти.
Количество буклетных карт: 3 (валет, дама, король).
Общая вероятность:
Количество подходящих карт:
3 (букетные карты одной масти) * 4 (масти) = 12 карт.
Вероятность первого выбора:
\[ P(первая карта буклетная) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \]
После того, как одна буклетная карта выбрана, остается 35 карт, и 11 из них также буклетные:
\[ P(вторая карта буклетная) = \frac{11}{35} \]
Общая вероятность:
\[ P(обе карты буклетные) = P(1) \cdot P(2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{11}{35} = \frac{11}{105}. \]
Задача 9
Необходимо набрать больше 3 очков (4 или 6) в 2-х матчах:
Победа (3 очка): p = 0.4, Ничья (1 очко): p = 0.2, Поражение (0 очков): p = 0.4.
Набор очков для двух матчей:
1) 2 победы - 6 очков: \((0.4) \cdot (0.4) = 0.16\)
2) 1 победа, 1 ничья - 4 очка: \((0.4) \cdot (0.2) + (0.2) \cdot (0.4) = 0.08 + 0.08 = 0.16\)
Общая вероятность:
\[ P(плей-офф) = 0.16 + 0.16 = 0.32 \]
Задача 10
Вероятность стрелять точно: 0.9, а промахнуться: 0.1.
Промахи: 3 (2-й, 3-й, 5-й выстрелы).
Общая вероятность:
\[ P(промах) = 0.1 \cdot 0.9 \cdot 0.1 \cdot 0.9 \cdot 0.1 = 0.00081. \]
Задача 11
Пары из Европы (Италия, Россия): 6 + 4 = 10 пар
Общее количество пар: 6 + 4 + 3 + 2 + 5 = 20
Вероятность:
\[ P(Европа) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \]