Дифференциал функции. Приближенные вычисления. Правило Лопиталя.

Первое применение правила Лопиталя:

Найдём производные числителя и знаменателя.

- Производная числителя по x:
(e^x - e^(inx))' = e^x - in * e^(inx).
- Производная знаменателя по x:
(x - sin x)' = 1 - cos x.

Подставим x=0:
f'(0) = (e^0 - in * e^0) / (1 - cos(0)) = (1 - in) / (1 - 1) = (1 - in) / 0.

Знаменатель при x=0 равен нулю, а числитель 1 - in — конечное, ненулевое число. После первой дифференциации получаем отношение вида (конечное ≠ 0)/0. Это уже не неопределённость вида 0/0 или ∞/∞. Такое отношение говорит о том, что предел стремится к бесконечности.

Для наглядности рассмотрим разложения в ряд Тейлора:

- Раскладка e^x вблизи 0:
e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + ...

- Раскладка e^(inx) вблизи 0:
e^(inx) = 1 + (in)x + (in)^2 x^2/2! + (in)^3 x^3/3! + ...
= 1 + inx - n^2 x^2/2 - in^3 x^3/6 + ...

e^x - e^(inx) = (1 + x + x^2/2 + x^3/6 + ...) - (1 + inx - n^2 x^2/2 - in^3 x^3/6 + ...).

Вычисляя разность по степеням x:
- Свободный член: 1 - 1 = 0.
- Коэффициент при x: x - inx = x(1 - in).
- Коэффициент при x^2: x^2/2 - (-n^2 x^2/2) = x^2(1+n^2)/2.
- Далее следуют более высокие порядки.

Теперь рассмотрим знаменатель x - sin x:
sin x = x - x^3/6 + x^5/120 - ...
x - sin x = x - ( x - x^3/6 + ...) = x^3/6 - ...

Получаем приближённо:
(e^x - e^(inx)) / (x - sin x) ≈ (x(1 - in) + x^2(1+n^2)/2 + ...) / (x^3/6 + ...)
= x(1 - in) / (x^3/6) + (более высокие порядки)
= 6(1 - in) / x^2 + ...

При x → 0, 6(1 - in) / x^2 → ∞.

Предел не существует как конечное число — он уходит в бесконечность.

Ответ: ∞