В треугольнике длины сторон равны а, b и с

Question

В треугольнике длины сторон равны а, b и с

Dilduc Krash Ученик (83), открыт 2 недели назад

В треугольнике длины сторон равны а, b и с, а длины проведенных к ним высот и медиан равны, соответственно, ha, hb, hc и ma, mb, mc. Для каких вещественных значений x существует треугольник с а ≠ b, для которого выполнено равенство
ha +xma =һb + xmb? В качестве ответа введите длину множества таких Х.
Если длина этого множества не определена или бесконечна, введите -1.

Answer 1

Рассмотрим формулу площади треугольника: S = (1/2) * a * ha = (1/2) * b * hb. Отсюда следует, что a * ha = b * hb.

Подставим это в данное равенство:

ha + xma = hb + xmb

Перепишем:

ha - hb = x(mb - ma)

Так как a * ha = b * hb, то ha = (b/a) * hb. Подставим это:

(b/a)hb - hb = x(mb - ma)

hb * (b/a - 1) = x(mb - ma)

x = [hb * (b - a) / a] / (mb - ma)

Поскольку a ≠ b, выражение (b - a) не равно нулю. Если mb ≠ ma, то существует единственное значение x для каждой пары (a, b). Таким образом, множество таких x имеет бесконечную длину, так как существует бесконечно много пар значений (a,b).

Однако, если mb = ma, то знаменатель равен нулю, и x неопределено. Это произойдет, если треугольник равнобедренный (a = b), что противоречит условию задачи (a ≠ b).

Поэтому ответ: -1