Помогите с математикой, пожалуйста

а) Длины ребер AB и AC:

Для нахождения длины ребра используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве: √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²)

Длина AB: √((-2 - (-1))² + (2 - 2)² + (5 - 1)²) = √(1² + 0² + 4²) = √17

Длина AC: √((-3 - (-1))² + (3 - 2)² + (1 - 1)²) = √((-2)² + 1² + 0²) = √5

б) Косинус угла между векторами AB и AC:

Найдем векторы AB и AC:

AB = B - A = (-2 - (-1), 2 - 2, 5 - 1) = (-1, 0, 4)
AC = C - A = (-3 - (-1), 3 - 2, 1 - 1) = (-2, 1, 0)
Найдем скалярное произведение векторов AB и AC:

AB ⋅ AC = (-1)(-2) + (0)(1) + (4)(0) = 2

Найдем длины векторов AB и AC: (мы уже вычислили их в пункте а)

||AB|| = √17 ||AC|| = √5

Найдем косинус угла:

cos θ = (AB ⋅ AC) / (||AB|| * ||AC||) = 2 / (√17 * √5) = 2 / √85

в) Объём пирамиды ABCD:

Найдем векторы AB, AC и AD:

AB = (-1, 0, 4) (уже вычислено)
AC = (-2, 1, 0) (уже вычислено)
AD = D - A = (-1 - (-1), 4 - 2, 3 - 1) = (0, 2, 2)
Найдем смешанное произведение векторов AB, AC и AD:

V = (AB x AC) ⋅ AD

Сначала найдем векторное произведение AB x AC:

AB x AC = (00 - 41, 4*(-2) - (-1)0, -11 - 0*(-2)) = (-4, -8, -1)

Затем найдем скалярное произведение (AB x AC) ⋅ AD:

(-4, -8, -1) ⋅ (0, 2, 2) = (-4)(0) + (-8)(2) + (-1)(2) = -18

Найдем объем:

Объем пирамиды = (1/6) * |V| = (1/6) * |-18| = 3

г) Высота, опущенная из вершины D на грань ABC:

Найдем площадь основания ABC:

Площадь треугольника ABC можно найти через векторное произведение:

Площадь ABC = (1/2) * ||AB x AC|| = (1/2) * √((-4)² + (-8)² + (-1)²) = (1/2) * √81 = 4.5

Найдем высоту:

Объем пирамиды = (1/3) * Площадь основания * высота

3 = (1/3) * 4.5 * h

h = 3 * 3 / 4.5 = 2

Ответы:

а) |AB| = √17, |AC| = √5
б) cos θ = 2/√85
в) Объём = 3
г) Высота = 2
Все вычисления проведены без использования приближений, за исключением вычислений корней и округления в конечном ответе, где это необходимо.

Векторное произведение? Но он же не в универе...