Свойство равнобедреного треугольника

Докажем, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно биссектрисой и высотой.

Дано:

Равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC.
M — середина основания BC (медиана AM).
Доказать:

AM — биссектриса угла BAC.
AM — высота, т.е. AM ⊥ BC.
Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABM и ACM:

AB = AC (по условию — равнобедренный треугольник)
BM = CM (по условию — M — середина BC)
AM — общая сторона.
Следовательно, треугольники ABM и ACM равны по трём сторонам (три стороны равны).

Равенство углов:

Поскольку треугольники ABM и ACM равны, то равны и соответствующие углы:

∠BAM = ∠CAM

Это означает, что медиана AM делит угол BAC на две равные части, следовательно, AM — биссектриса угла BAC.

Равенство углов при основании:

Так как треугольники ABM и ACM равны, то:

∠AMB = ∠AMC

Поскольку ∠AMB + ∠AMC = 180° (суммарный угол), то каждый из этих углов равен 90°.

∠AMB = ∠AMC = 90°

Это значит, что AM перпендикулярна BC, а следовательно, AM — высота.

Заключение:

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно биссектрисой и высотой.