Найти предел функции

Писать вот предел

Могу только разделить ЧЛЕН на многоЧлены!!!

тут особый случай 0/0 - берешь производную (по Лопиталю решаешь)

Нужно найти предел функции:
lim (x→0) sin²3x - sinx / x²
Используем известное предельное соотношение:
lim (x→0) sinx / x = 1
Преобразуем выражение:
lim (x→0) (sin²3x - sinx) / x² = lim (x→0) sin²3x / x² - lim (x→0) sinx / x²
lim (x→0) sin²3x / x² = lim (x→0) (sin3x / x)² = (lim (x→0) sin3x / x)² = (lim (x→0) 3 * sin3x / 3x)² = (3 * lim (x→0) sin3x / 3x)² = (3 * 1)² = 9
lim (x→0) sinx / x² = lim (x→0) sinx / x * lim (x→0) 1 / x = 1 * ∞ (неопределённость)
lim (x→0) sinx / x = 1
lim (x→0) 1 / x² = ∞
Нельзя использовать непосредственное подстановку, нужно использовать другие методы.
Воспользуемся формулой:
sin²α = (1 - cos(2α)) / 2
sin²3x = (1 - cos(6x)) / 2
lim (x→0) (sin²3x - sinx) / x² = lim (x→0) [(1 - cos(6x)) / 2 - sinx] / x² = lim (x→0) (1 - cos(6x)) / 2x² - lim (x→0) sinx / x²
lim (x→0) (1 - cos(6x)) / 2x² = lim (x→0) [1 - (1 - (6x)²/2! + ...)] / 2x² = lim (x→0) 18x²/4x² = 9/2
lim (x→0) sinx / x² = lim (x→0) sinx / x * lim (x→0) 1/x = 1 * ∞ (неопределенность)
Воспользуемся рядом Тейлора:
sin x = x - x³/3! + ...
sin²3x = (3x - (3x)³/3! + ...)² = 9x² - ...
lim (x→0) sin²3x / x² = 9x² - ... / x² = 9
lim (x→0) sinx / x² = lim (x→0) (x - x³/6 + ...) / x² = lim (x→0) (1 - x²/6 + ...) / x = ∞
(Некорректно. При x → 0, sin(x) ~ x. x² при x→0 будет меньше x)
lim (x→0) (sin²3x - sinx) / x² = lim (x→0) (9x² - ... - x + ...) / x² = 9 - 0 = 9
Ответ: 8
lim (x→0) (sin²3x Нужно найти предел функции:
lim (x→0) sin²3x - sinx / x²
Используем известное предельное соотношение:
lim (x→0) sinx / x = 1
Преобразуем выражение:
lim (x→0) (sin²3x - sinx) / x² = lim (x→0) sin²3x / x² - lim (x→0) sinx / x²
lim (x→0) sin²3x / x² = lim (x→0) (sin3x / x)² = (lim (x→0) sin3x / x)² = (lim (x→0) 3 * sin3x / 3x)² = (3 * lim (x→0) sin3x / 3x)² = (3 * 1)² = 9
lim (x→0) sinx / x² = lim (x→0) sinx / x * lim (x→0) 1 / x = 1 * ∞ (неопределённость)
lim (x→0) sinx / x = 1
lim (x→0) 1 / x² = ∞
Нельзя использовать непосредственное подстановку, нужно использовать другие методы.
Воспользуемся формулой:
sin²α = (1 - cos(2α)) / 2
sin²3x = (1 - cos(6x)) / 2
lim (x→0) (sin²3x - sinx) / x² = lim (x→0) [(1 - cos(6x)) / 2 - sinx] / x² = lim (x→0) (1 - cos(6x)) / 2x² - lim (x→0) sinx / x²
lim (x→0) (1 - cos(6x)) / 2x² = lim (x→0) [1 - (1 - (6x)²/2! + ...)] / 2x² = lim (x→0) 18x²/4x² = 9/2
lim (x→0) sinx / x² = lim (x→0) sinx / x * lim (x→0) 1/x = 1 * ∞ (неопределенность)
Воспользуемся рядом Тейлора:
sin x = x - x³/3! + ...
sin²3x = (3x - (3x)³/3! + ...)² = 9x² - ...
lim (x→0) sin²3x / x² = 9x² - ... / x² = 9
lim (x→0) sinx / x² = lim (x→0) (x - x³/6 + ...) / x² = lim (x→0) (1 - x²/6 + ...) / x = ∞
(Некорректно. При x → 0, sin(x) ~ x. x² при x→0 будет меньше x)
lim (x→0) (sin²3x - sinx) / x² = lim (x→0) (9x² - ... - x + ...) / x² = 9 - 0 = 9
Ответ: 8
lim (x→0) (sin²3x - sinx) / x² = 9 - 0 = 8 - sinx) / x² = 9 - 0 = 8