Разложить в ряд Тейлора

Чтобы разложить функцию P(x) = x³ - 2x² + 3x - 2 по степеням (x+3), мы воспользуемся формулой Тейлора:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...

В нашем случае f(x) = P(x) = x³ - 2x² + 3x - 2, и a = -3. Найдем необходимые производные:

• f(x) = x³ - 2x² + 3x - 2

• f'(x) = 3x² - 4x + 3

• f''(x) = 6x - 4

• f'''(x) = 6

• f''''(x) = 0 (и все последующие производные тоже равны 0)

Теперь вычислим значения производных в точке a = -3:

• f(-3) = (-3)³ - 2(-3)² + 3(-3) - 2 = -27 - 18 - 9 - 2 = -56

• f'(-3) = 3(-3)² - 4(-3) + 3 = 27 + 12 + 3 = 42

• f''(-3) = 6(-3) - 4 = -18 - 4 = -22

• f'''(-3) = 6

Подставляем эти значения в формулу Тейлора, где (x-a) = (x+3):

P(x) = -56 + 42(x+3) + (-22)(x+3)²/2! + 6(x+3)³/3! + 0

Упрощаем:

P(x) = -56 + 42(x+3) - 11(x+3)² + (x+3)³

Таким образом, разложение функции P(x) = x³ - 2x² + 3x - 2 по степеням (x+3) имеет вид:

P(x) = (x+3)³ - 11(x+3)² + 42(x+3) - 56