Самостоятельная работа по теме иррациональные уравнения

Давайте решим каждое из представленных иррациональных уравнений по порядку.

### 1) \( \sqrt{5x + 1} = 3 \)

Возводим обе стороны в квадрат:
$$ 5x + 1 = 9 $$
$$ 5x = 9 - 1 $$
$$ 5x = 8 $$
$$ x = \frac{8}{5} = 1.6 $$

### 2) \( \sqrt{2x + 3} = x \)

Возводим обе стороны в квадрат:
$$ 2x + 3 = x^2 $$
$$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$

Решим квадратное уравнение:
$$(x - 3)(x + 1) = 0 $$

Корни:
$$ x = 3 \quad \text{или} \quad x = -1 $$

Проверяем корни:
- Для \( x = 3 \): \( \sqrt{2(3) + 3} = \sqrt{9} = 3 \) (подходит)
- Для \( x = -1 \): \( \sqrt{2(-1) + 3} = \sqrt{1} = 1 \neq -1 \) (не подходит)

Таким образом, \( x = 3 \).

### 3) \( x + 1 = \sqrt{8 - 4x} \)

Возводим обе стороны в квадрат:
$$ (x + 1)^2 = 8 - 4x $$
$$ x^2 + 2x + 1 = 8 - 4x $$
$$ x^2 + 6x - 7 = 0 $$

Решаем квадратное уравнение:
$$(x - 1)(x + 7) = 0 $$

Корни:
$$ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -7 $$

Проверяем корни:
- Для \( x = 1 \): \( 1 + 1 = 2 \) и \( \sqrt{8 - 4(1)} = \sqrt{4} = 2 \) (подходит)
- Для \( x = -7 \): \( -7 + 1 = -6 \) и \( \sqrt{8 - 4(-7)} = \sqrt{36} = 6 \) (не подходит)

Таким образом, \( x = 1 \).

### 4) \( \sqrt{7x + 1} = \sqrt{3x + 4} \)

Возводим обе стороны в квадрат:
$$ 7x + 1 = 3x + 4 $$
$$ 4x = 3 $$
$$ x = \frac{3}{4} $$

### 5) \( \sqrt{x + 17} - \sqrt{x + 1} = 2 \)

Переносим \( \sqrt{x + 1} \) на правую сторону:
$$ \sqrt{x + 17} = \sqrt{x + 1} + 2 $$

Возводим обе стороны в квадрат:
$$ x + 17 = ( \sqrt{x + 1} + 2 )^2 $$
$$ x + 17 = x + 1 + 4\sqrt{x + 1} + 4 $$
$$ 12 = 4\sqrt{x + 1} $$
$$ 3 = \sqrt{x + 1} $$

Возводим обе стороны в квадрат:
$$ 9 = x + 1 $$
$$ x = 8 $$

### 6) \( \sqrt{1 - x} - \sqrt{13 + x} = \sqrt{x + 4} \)

Переносим \( \sqrt{x + 4} \) на правую сторону:
$$ \sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 4} = \sqrt{13 + x} $$

Возводим обе стороны в квадрат:
$$ (1 - x) - 2\sqrt{(1 - x)(x + 4)} + (x + 4) = 13 + x $$

Упрощаем:
$$ 5 - 2\sqrt{(1 - x)(x + 4)} = 13 $$
$$ -2\sqrt{(1 - x)(x + 4)} = 8 $$

Так как левая часть отрицательна, уравнение не имеет решений.

### Итоговые результаты:

1. \( x = \frac{8}{5} \)
2. \( x = 3 \)
3. \( x = 1 \)
4. \( x = \frac{3}{4} \)
5. \( x = 8 \)
6. Нет решений.