Решить методом гаусса

1. Записываем расширенную матрицу системы:

| 3 -1 1 | 9 |
| 5 1 2 | 11 |
| 1 2 4 | 19 |


2. Прямой ход метода Гаусса (приведение к ступенчатому виду):

Шаг 1: Делаем элемент в левом верхнем углу (первый элемент первой строки) равным 1. Для этого меняем местами первую и третью строки:

| 1 2 4 | 19 |
| 5 1 2 | 11 |
| 3 -1 1 | 9 |


Шаг 2: Обнуляем элементы под единицей в первом столбце.

Вычитаем из второй строки первую, умноженную на 5:

| 1 2 4 | 19 |
| 0 -9 -16 |-84 |
| 3 -1 1 | 9 |


* Вычитаем из третьей строки первую, умноженную на 3:

| 1 2 4 | 19 |
| 0 -9 -16 |-84 |
| 0 -7 -11 |-48 |


Шаг 3: Делаем второй элемент второй строки равным 1. Для этого делим вторую строку на -9:

| 1 2 4 | 19 |
| 0 1 16/9 | 84/9 |
| 0 -7 -11 | -48 |

Шаг 4: Обнуляем элемент под единицей во втором столбце. Для этого прибавляем к третьей строке вторую, умноженную на 7:

| 1 2 4 | 19 |
| 0 1 16/9 | 84/9 |
| 0 0 5/9 | 80/9 |


Шаг 5: Делаем третий элемент третьей строки равным 1. Для этого умножаем третью строку на 9/5:

| 1 2 4 | 19 |
| 0 1 16/9 | 84/9 |
| 0 0 1 | 16 |

3. Обратный ход метода Гаусса (получение решения):

Шаг 6: Обнуляем элементы над единицей в третьем столбце.

Вычитаем из второй строки третью, умноженную на 16/9:

| 1 2 4 | 19 |
| 0 1 0 | -4 |
| 0 0 1 | 16 |

* Вычитаем из первой строки третью, умноженную на 4:

| 1 2 0 | -45 |
| 0 1 0 | -4 |
| 0 0 1 | 16 |


Шаг 7: Обнуляем элемент над единицей во втором столбце. Для этого вычитаем из первой строки вторую, умноженную на 2:

| 1 0 0 | -37 |
| 0 1 0 | -4 |
| 0 0 1 | 16 |


4. Решение:

Из полученной матрицы считываем решение:

x = -37

y = -4

z = 16

Ответ:

Решением системы линейных уравнений является: x = -37, y = -4, z = 16.