Найди наименьшее значение функции  f ( x ) = x² − 8 x + 7 на отрезке [0;5].

Чтобы найти наименьшее значение функции \( f(x) = x^2 - 8x + 7 \) на отрезке \([0; 5]\), сначала вычислим производную: \( f'(x) = 2x - 8 \). Приравняем к нулю: \( 2x - 8 = 0 \) ⇒ \( x = 4 \). Теперь проверим значения функции на границах и в точке: \( f(0) = 7 \), \( f(4) = -9 \), \( f(5) = 2 \). Наименьшее значение на отрезке — \( f(4) = -9 \).

Для нахождения наименьшего значения функции \(f(x) = x^2 - 8x + 7\) на отрезке \([0; 5]\), нужно:

1. **Найти производную функции**:
\(f'(x) = 2x - 8\).

2. **Найти критические точки**, решая уравнение \(f'(x) = 0\):
\(2x - 8 = 0\) ⟹ \(2x = 8\) ⟹ \(x = 4\).

3. **Проверить значения функции в критических точках и на границах отрезка**:
- Для \(x = 0\): \(f(0) = 0^2 - 8 \cdot 0 + 7 = 7\).
- Для \(x = 4\): \(f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9\).
- Для \(x = 5\): \(f(5) = 5^2 - 8 \cdot 5 + 7 = 25 - 40 + 7 = -8\).

4. **Сравнить значения**:
Среди вычисленных значений \(f(0) = 7\), \(f(4) = -9\), и \(f(5) = -8\), наименьшее значение равно \(-9\), которое получено при \(x = 4\).

Таким образом, наименьшее значение функции \(f(x) = x^2 - 8x + 7\) на отрезке \([0; 5]\) равно \(-9\) и достигается при \(x = 4\).

Чтобы найти наименьшее значение функции \( f(x) = x^2 - 8x + 7 \) на отрезке \([0; 5]\), сначала найдем критические точки, где производная функции равна нулю.

1. Находим производную функции:
\[
f'(x) = 2x - 8
\]

2. Приравниваем производную к нулю:
\[
2x - 8 = 0 \implies x = 4
\]

Теперь проверим значение функции в критической точке \( x = 4 \) и на границах отрезка \( x = 0 \) и \( x = 5 \).

3. Вычислим значения функции:
- \( f(0) = 0^2 - 8 \cdot 0 + 7 = 7 \)
- \( f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 7 = 16 - 32 + 7 = -9 \)
- \( f(5) = 5^2 - 8 \cdot 5 + 7 = 25 - 40 + 7 = -8 \)

Теперь сравним найденные значения:
- \( f(0) = 7 \)
- \( f(4) = -9 \)
- \( f(5) = -8 \)

Наименьшее значение функции на отрезке \([0; 5]\) равно \( -9 \) и достигается при \( x = 4 \).